Đến nội dung

daoducluong0908

daoducluong0908

Đăng ký: 08-11-2013
Offline Đăng nhập: 29-04-2014 - 20:36
*****

#471350 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi daoducluong0908 trong 16-12-2013 - 22:37


6) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$                                

7) Cho $a> 1$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$                                

8) Cm: $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc \forall a;b;c$                              

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$                       Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$                                      

10) Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e) \forall a;b;c;d;e$                              

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$                            

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$                            

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$                        

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

6)Xét hiệu: $(a^{4}+b^{4}).2-(a^{3}+b^{3})(a+b)
Biến đổi tương đương
=> $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\forall a;b$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

Mà $GT\Rightarrow (a+b)(a^{4}+b^{4})\geq 2(a^{4}+b^{4})$

$\Rightarrow (a^{4}+b^{4})(a+b)\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

=>đpcm.

7)$PT\Leftrightarrow 1<\sqrt{a^{2}+a}-\sqrt{a^{2}-a}$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{a^{2}-a}<\sqrt{a^{2}+a}$

$\Leftrightarrow a^{2}-a+1+2\sqrt{a^{2}-a}<a^{2}+a$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a}<2a-1\Leftrightarrow 4a^{2}-4a<4a^{2}-4a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
8)
$PT\Leftrightarrow (a-bc)^{2}+(b-ca)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

10) Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 4 thu gọn được:

$(a-2b)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)