5S online

Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và số nguyên tố p thoả mãn $p>6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp S gồm n số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho p.

 

CMR tồn tại số nguyên dương c sao cho có đúng hai bộ số $(x,y,z)\in S^3$ có thứ tự, các thành phần phân biệt mà $x-y+z-c$ chia hết cho p.

Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$. Tìm Min

$$P=\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^z+1}}$$

Tìm $m$ lớn nhất để bpt có nghiệm

$$\sqrt{m^3}(x-1)^2+\dfrac{\sqrt{m}}{(x-1)^2}\le \sqrt[4]{m^3}.\left |\sin \dfrac{\pi x}{2}\right |$$

Giải pt:

1) $3\sqrt{1+\cot x}(2\sin x+\cos x)=5(3\sin x+\cos x)$

 

2) $2\left ( \sqrt{\sin x}+\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi}{4} \right ) \right )=1+\cos 2x$

Cho $x,y,z\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ và $\sin^2 x,\sin^2 y,\sin^2 z$ thứ tự lập thành cấp số cộng, $\sin y\neq 0$, $tan x.tan z=1$.
Cmr $\tan y=1$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$

1) Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Cmr:
$\sum \frac{1}{1+x^2(y+z)}\le \frac{1}{xyz}$

Giải pt:
1/$48x(x+1)(x^{3}-4)=(x^{4}+8x+12)^{2}$

2/$x+\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^{2}}}=1$

3/$\sqrt{x-1}+x-3=\sqrt{2(x-3)^{2}+2x-2}$

4/$x^{2}\sqrt[4]{2-x^{4}}-1=x^{4}-x^{3}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ tm: $AB=CH$. Cmr:
$cosB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Giải pt:
1/ $2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$

2/ $\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}-(x-4)\sqrt{x-7}-3x+28=0$

3/ $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$

4/ $2x^{2}-5x+2=4\sqrt{2(x^{3}-21x+20)}$

5/ $\sqrt{5x-6}+\sqrt[3]{9-x}=2x^{2}+3x-1$

1)Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất

a)$\left\{\begin{matrix}|x+1|+|y-3|=m & & \\ |y+1|+|x-3|=m & & \end{matrix}\right.$

b)$|2x-1|+|2x+1|=m$

c)$|2x-m|+1=|x+3|$

d)$|x-1|+|2x-1|=\frac{1}{m}$

2)Giải pt:

$13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9\sqrt{x^{2}+x^{4}}=16$

 

1. Cho $|a|+|b|+|c|>17$
   Cmr: hệ sau có nghiệm:$\left\{\begin{matrix}|ax^{2}+bx+c|>1 & & \\ 0\leq x\leq 1 & & \end{matrix}\right.$
2. Cho $|f(x)|=|ax^{2}+bx+c|\leq h$ mọi $x\in [-1;1]$. Cmr:$|a|+|b|+|c|\leq 4h$

Giải hệ pt:
$\left\{\begin{matrix}a^{2}x+ay+z=a^{2} & & \\ b^{2}y+by+z=b^{2} \\ c^{2}z+cy+z=c^{2} & & \end{matrix}\right.$