5S online

1/ Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên tm: $P(a)=P(b)=$$P$($c$)$=2$.

Cmr: $P(x)-3=0$ không có nghiệm nguyên.

2/ Cho $f(x)=x^{4}-3x^{3}+(2+a)x^{2}-x+a$. Cmr với mọi số nguyên $a$ thì $f(x)$ không có nghiệm nguyên lẻ.

3/ Cho đa thức f(x) xác định với mọi giá trị của $x$ nguyên dương và tm:
$\left\{\begin{matrix}f(1)=25 & & \\ f(1)+f(2)+...+f(n)=n^{2}f(n)(n\in \mathbb{N}*) & & \end{matrix}\right.$

Tính $f(2014)$

4/ Xét đa thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$(a khác 0)

Biết $|f(x)|\leq 1$, $x\in [-1;1]$

Tìm $Max b$

P(x) không có dạng gì à ban.

VD : ax²-bx+1

Xácđịnh đa thức P(x) biết:
a) $P(x-1)=P(x)+2x+1$ với mọi x

b) $P((x+1)^{2})=P(x^{2})+2x+1$ với mọi x

1) Cho $f(x)$ là đa thức bậc 4 với các hệ số nguyên. Cmr:
a) Nếu $f(0);f(1);...;f(4)$ đều không chia hết cho 5 thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.

b) Nếu phương trình $f(x)=1$ có nhiều hơn 3 nghiệm phân biệt thì pt $f(x)=-1$ không có nghiệm nguyên.

2) Cho đa thức $P(x)=(1-x+x^{2}-...-x^{2013}+x^{2014})(1+x+x^{2}+...+x^{2013}+x^{2014})$

Sau khi khai triền và thu gọn đa thức ta được $P(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{4028}x^{4028}$. Tính $a_{2013};a_{2014}$.

3) Cho đa thức $P(x)$ là đa thức bậc 3 với hệ số của $x^{3}$ là một số nguyên dương.
Biết $P(1)=2;P(2)=3$
Cmr: $P(3)-P(0)$ là một hợp số

4) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có bậc 2013 tm: $P(x^{2}-2012)$ chia hết cho $P(x)$.

5) Xác định đa thức với các hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(5)=4;P(2)=2$

6) Cho $f(x)=x^{4}-3x^{3}+(2+a)x^{2}-x+a$. Cmr với mọi số nguyên $a$ thì $f(x)$ không có nghiệm nguyên lẻ.

1/ Cho $Q(x)=x^{5}+x^{2}+1$ có $5$ nghiệm thực: $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5}$. Đặt $F(x)=x^{2}-2$. Tính $F(x_{1})F(x_{2})...F(x_{5})$

2/ Cho $Q(x)=x^{5}+ax^{2}+b$ có $5$ nghiệm thực: $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5}$. Đặt $F(x)=x^{2}-3$.

Cm: $F(x_{1})F(x_{2})...F(x_{5})\geq -243$

3/ Tìm các số nguyên $a,b,c$ thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}<ab+3b+2c-3$

4/ Sử dụng hằng đẳng thức $(x+1)^{3}$. Hãy tính $S=1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$

5/ Sử dụng hằng đẳng thức $(x+1)^{4}$. Hãy tính $S=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$

1/ $\left\{\begin{matrix}xy^{2}-2y+3x^{2}=0 & & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0 & & \end{matrix}\right.$

2/ $\left\{\begin{matrix}(x-1)\sqrt{y}+(y-1)\sqrt{x}=\sqrt{2xy} & & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy & & \end{matrix}\right.$

3/ $\left\{\begin{matrix} x-y^{2}-yz-z=0 \\ x-y-y^{2}-z^{2}=0 \\ x+y-y^{3}-z=0 \end{matrix}\right.$

4/$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y+x^{3}y+xy^{2}+xy=\frac{-5}{4} & & \\ x^{4}+y^{2}+xy(1-2x)=\frac{-5}{4} & & \end{matrix}\right.$

5/$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3 & & \\ \sqrt{32-x}+\sqrt[4]{x}+6y=24 & & \end{matrix}\right.$