phuocdinh1999

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=2,1$ và $x_{n+1}=\frac{x_{n}-2+\sqrt{x_{n}^{2}+8x_{n}-4}}{2}.$
Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i+1}^{2}-4}.$ Tìm $\lim_{n \mapsto +\infty}y_{n}.$

+ CM: $\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=+ \infty$

+ $x_{n+1}=\frac{x_{n}-2+\sqrt{x_{n}^{2}+8x_{n}-4}}{2}$

Chuyển vế, bình phương được $x_{n+1}^2-x_nx_{n+1}+2x_{n+1}-3x_n+2=0 $

$\Rightarrow \frac{1}{x_n^2-4}=\frac{1}{x_n-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}$

$\Rightarrow y_n=\frac{1}{x_1-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}$

Do $\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n=+ \infty$ nên $\lim y_n=\frac{1}{0,1}=10$

Họ tên: Lê Phước Định

Nick trong diễn đàn: phuocdinh1999

Năm sinh: 1999

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THPT

 

Ngày thi thứ hai

 

Câu VI. Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$. CMR

$\frac{x}{\sqrt{yz}+\sqrt{3}}+\frac{y}{\sqrt{xz}+\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{xy}+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}xyz}$

 

---------------------------------------------------------------------------

 

 

Câu VI:

Đổi biến $(a,b,c)=(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}). $

Từ GT suy ra $a^2+b^2+c^2=1$. BĐT trở thành: $\sum \frac{bc}{a^2+\sqrt{3}a}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}abc}$

Ta có: $VT \leq \sum \frac{bc}{a^2+a(a+b+c)}$ (do $a+b+c\leq \sqrt{3}$) $=\sum \frac{bc}{a(a+b)+a(a+c)}$

         $\leq \frac{1}{4}\sum \frac{bc}{a(a+b)}$+$\frac{bc}{a(a+c)}=\sum \frac{c(a^2+b^2)}{4ab(a+b)}$ 

Ta cần CM: $\sum \frac{c^2(a^2+b^2)}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \sum (c^2(a+b)-\frac{2abc^2}{a+b} )\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc-2abc(\sum \frac{a}{b+c})\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Do $(ab+bc+ca)(a+b+c) \leq \sqrt{3}$ và $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ nên ta chỉ cần CM:$\frac{1}{ab+bc+ca}+5 \geq \frac{2}{\sqrt{3}abc}$

Hay $\frac{2}{\sqrt{3}}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 1+5(ab+bc+ca)$

BĐT này đúng vì ta CM được $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt{3}$ và $ab+bc+ca \leq 1$.

Tại một trại hè có $k$ người. Cứ mỗi $m$ người trong trại hè ($m\geq 3$) thì có đúng 1 bạn chung. Quy ước rằng nếu $A$ là bạn $B$ thì $B$ là bạn $A$, và $A$ không là bạn của chính anh ta. Hỏi trại hè có bao nhiêu người?

Rõ ràng luôn tồn tại 2 người quen nhau là $A_1$ và $A_2$

Với 2 người trên thì tồn tại $A_3$ quen cả hai. (gt)

Với 3 người $A_1,A_2,A_3$ thì tồn tại người A_4 quen cả ba (do $m \geq 3$)

....

Làm liên tục như trên, ta được $m+1$ người $A_1,A_2,.. , A_{m+1}$ đôi một quen nhau.

Giả sử tồn tại B không thuộc nhóm trên 

TH1: B có ít nhất 2 người bạn, giả sử $A_1,A_2$ 

Khi đó xét $m$ người $B,A_3,A_4,...,A_{m+1}$ thì $m$ người này có ít nhất 2 bạn chung là $A_1,A_2$ (vô lý)

TH2: B có đúng 1 người bạn, giả sử là C

Xét $m$ người $B,C,A_4,A_5,...,A_{m+1}$ thì họ có đúng một người bạn chung là D 

Khi đó B có ít nhất 2 người bạn (mâu thuẫn)

Như vậy không tồn tại ai ngoài nhóm $m+1$ người trên. Vậy trại hè có $m+1$ người 

Cho các số a,b,c thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh $\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\geq a+b+c$

Tự hào là thành viên VMF

Theo nguyên tắc Dirichlet, trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$, tồn tại 2 số có tích không âm, giả sử $(b-1)(c-1) \geq 0$ hay $bc \geq b+c-1(*)$

Áp dụng Minkowski: $\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}=\sqrt{(b-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}+\sqrt{(c-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\geq \sqrt{(b+c-1)^2+3}$ 

Xét $\sqrt{(b+c-1)^2+3}-(b+c)=\frac{4-2(b+c)}{\sqrt{(b+c-1)^2+3}+(b+c)}\geq \frac{2-bc}{\sqrt{b^2c^2+3}+bc+1}$ (theo$(*)$)

      $=\frac{2a-2}{\sqrt{3a^2+1}+a+1}$

Ta cần cm: $\sqrt{a^2-a+1}+\frac{2a-2}{\sqrt{3a^2+1}+a+1}\geq a$ $\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^2(a-1)^2\geq 0$ (đúng)