QuynhNguyenDinh

4. Tìm nghiệm nguyên dương a) $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3$

PT$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$ (1). Từ (1) suy ra $xyz> 0$. Ta có$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 3\Rightarrow 3xyz\leq 3$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3\Rightarrow xyz=1\Rightarrow x=y=z=1$ hoặc $x=y=-1$, $z=1$ và các hoán vị

$4x^{2}+(\frac{5}{2}-2x^{2})^{2}+2\sqrt{3-4x}-7=0$

phương trình đã cho tương đương:
$4x^{4}-6x^{2}+2\sqrt{3-4x}-\frac{3}{4}=0$
<=> $(4x^{2}-1)^{2}=4(2x-1)^{2}+8(\frac{(2x-1)(2x+3)}{2x+\sqrt{3-4x}}$
<=>$(2x-1)^{2}(2x+1)^{2}=4(2x-1)^{2}+8(\frac{(2x-1)(2x+3)}{2x+\sqrt{3-4x}}$
vì $x=<\frac{3}{4}$ nên phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{1}{2}$

Ta có: 4(x^2+x+1)/(x^2+2x+1) = [3-2(x-1)^2]
vì 3-2(x-1)^2 =< 3, nên 4(x^2+x+1)/(x^2+2x+1) =< 3
<=> (x-1)^2 =<0 <=> x=1