câu 1 : a,Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$
b, Cho 3 số thực x,y,z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$
Chứng minh rằng : (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$ 1
câu 2 : cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P
Chứng minh : $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$
câu 3 : cho a, b, c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}$\frac{}{}$}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$
câu 4 : cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB=c; BC=a; CA=b, Các góc của tam giác đó thỏa mãn: $\widehat{C}=2\widehat{A}+\widehat{B}$. Chứng minh rằng : $c^{2}< 2a^{2}+b^{2}$
Câu 2: Đặt SOBC = S1 ; SOCA =S2 ; SOAB = S3 ; SABC= S
Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{SAMB}{SOMB}$ =$\frac{SAMC}{SOMC}$ =$\frac{SABC}{SOBC}$
=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S1}$ =$\frac{S1+S2+S3}{S1}$
Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{S1+S2+S3}{S2}$
$\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S1+S2+S3}{S3}$
=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S1 +S2 +S3)($\frac{1}{S1}$ +$\frac{1}{S2}$ +$\frac{1}{S3}$ (1)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
(1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9
Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác
p/s: ui cha là đê
- congchuasaobang yêu thích