Luffy 97

Cho hai đường tròn $(O;R),(I;r)$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $P$  ($R>r$). Đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(O),(I)$ theo thứ tự tại $A,M$, đường thẳng $l$ tiếp xúc $(I)$ tại $N$ và cắt $(O)$ tại $B,C$. Gọi $D$ là giao điểm của $l,d$ và $K$ là giao điểm hai đường phân giác trong góc $\angle{ACB}, \angle{ABD}$. Chứng minh $K,M,N$ thẳng hàng

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn có $P$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$. Hạ $PE,PF$ vuông góc với $AB,CD$ tại $E,F$.$Q$ là giao của $CE,BF$. Chứng minh $PQ \perp EF$

Cho tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ và đường tròn ngoại tiếp $(O)$. Đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $AIB$ cắt $(I)$ tại hai điểm khác nhau $X,Y$. Đường thẳng $JF$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh $(PXY)$ tiếp xúc với $(O)$.

(Kí hiệu $(O)$ đường tròn có tâm $O$, $(ABC)$ là đường tròn qua ba điểm $A,B,C$)

Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:

$(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y)$            (IranTST2012)

Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:

$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).

trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle