Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Cao thu

Đăng ký: 17-11-2013
Offline Đăng nhập: 28-08-2014 - 15:02
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Đề thi thử trường THPT chuyên Phan Bội Châu

20-06-2014 - 17:23

Câu 3 (2 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

 

Cách 3: Ta có:

$x^2y^2z^2=x(1-x)y(1-y)z(1-z)\leq \frac{(x+1-x)^2}{4}.\frac{(y+1-y)^2}{4}.\frac{(z+1-z)^2}{4}= \frac{1}{64}$


Trong chủ đề: Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}}+...

19-06-2014 - 19:46

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}= \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{zy}+\frac{z^2}{xz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$

Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 $(x+y+z)^{3}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow ((x+y+z)^2)^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx))^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (3+2(xy+yz+zx))^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$(3+xy+yz+zx+xy+zy+zx)^{\frac{3}{2}}\geq (3\sqrt[3]{3(xy+yz+zx)^{2}})^{\frac{3}{2}}= 9(xy+yz+zx)$

Dễ dàng có ngay điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$


Trong chủ đề: $x,y,z\in\mathbb{R};x+y+z=4;xyz=2$.Min,Max...

18-06-2014 - 15:05

ĐÂY


Trong chủ đề: Chứng minh: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)$

18-06-2014 - 14:51

Bài 10 :

Dễ thấy $x,y,z\leq 3$.

Suy ra $(3-x)\geq 0 ;(3-y)\geq 0 ;(3-z)\geq 0 $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số trên, ta có được:

$(3-x)(3-y)(3-z)\leq \frac{(3-x)^{3}+(3-y)^3+(3-z)^3}{3}$

$\Leftrightarrow 27+3(xy+yz+zx)-xyz+9(x+y+z)\leq 27-9(x+y+z)+3(x^2+y^2+z^2)- \frac{x^3+y^3+z^3}{3}$

$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq 3(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)$

 

Mặt khác:

$x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^2\Leftrightarrow 3x^2\leq 2x^3+1$.

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, ta có:

$3(x^2+y^2+z^2)\leq 2(x^3+y^3+z^3)+3=9$

Suy ra : $3(xy+yz+zx)-xyz\leq 9-1=8$ 


Trong chủ đề: Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa năm học 2014-2015 (Vòng I)

17-06-2014 - 22:26

Câu 5 ở đây