Cao thu

Câu 3 (2 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

 

Cách 3: Ta có:

$x^2y^2z^2=x(1-x)y(1-y)z(1-z)\leq \frac{(x+1-x)^2}{4}.\frac{(y+1-y)^2}{4}.\frac{(z+1-z)^2}{4}= \frac{1}{64}$

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}= \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{zy}+\frac{z^2}{xz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$

Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 $(x+y+z)^{3}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow ((x+y+z)^2)^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx))^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (3+2(xy+yz+zx))^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$(3+xy+yz+zx+xy+zy+zx)^{\frac{3}{2}}\geq (3\sqrt[3]{3(xy+yz+zx)^{2}})^{\frac{3}{2}}= 9(xy+yz+zx)$

Dễ dàng có ngay điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

ĐÂY

Bài 10 :

Dễ thấy $x,y,z\leq 3$.

Suy ra $(3-x)\geq 0 ;(3-y)\geq 0 ;(3-z)\geq 0 $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số trên, ta có được:

$(3-x)(3-y)(3-z)\leq \frac{(3-x)^{3}+(3-y)^3+(3-z)^3}{3}$

$\Leftrightarrow 27+3(xy+yz+zx)-xyz+9(x+y+z)\leq 27-9(x+y+z)+3(x^2+y^2+z^2)- \frac{x^3+y^3+z^3}{3}$

$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq 3(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)$

Mặt khác:

$x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^2\Leftrightarrow 3x^2\leq 2x^3+1$.

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, ta có:

$3(x^2+y^2+z^2)\leq 2(x^3+y^3+z^3)+3=9$

Suy ra : $3(xy+yz+zx)-xyz\leq 9-1=8$ 

Câu 5 ở đây