Cao thu

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $2(y^2+yz+z^2)=3(3-x^2)$

Tìm MAX và MIN của $x+y+z$

Câu 3 (2 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

 

Cách 3: Ta có:

$x^2y^2z^2=x(1-x)y(1-y)z(1-z)\leq \frac{(x+1-x)^2}{4}.\frac{(y+1-y)^2}{4}.\frac{(z+1-z)^2}{4}= \frac{1}{64}$

Câu 1 (7 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình:

a)$3\sqrt{x^2+4x-5}+\sqrt{x-3}=\sqrt{11x^2+25x+2}$

b)$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2)=3x^2+3y^2+2 & & \\ 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^2+8 & & \end{matrix}\right.$

Câu 2 (2 điểm) Tìm $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $3x^2+y^2$ và $3y^2+x^2$ là các số chính phương

Câu 3 (2 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

b) $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

Câu 4 (4 điểm) Cạnh BC của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác tại D. Chứng minh rằng tâm của đường tròn này và các trung điểm của BC và AD nằm trên một đường thẳng

Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ thỏa mãn tồn tại một điểm $F$ nằm trong tam giác sao cho $\widehat{AFB}=\widehat{BFC}=\widehat{CFA}$. $BF$ cắt $AC$ tại $D$, $CF$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh:

$AB+AC\geq 4DE$

Câu 6(2 điểm)Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 9 điểm có tọa độ là các số nguyên và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh có một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là số chẵn

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$
2) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^{2}+b^2+c^2$
3)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{1}{1+2xy}+\frac{1}{1+2yz}+\frac{1}{1+2zx}\geq 1$. Chứng minh:
$x+y+z\geq 3xyz$
4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq 2+abc$

5)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\leq y\leq z$ và $x+y+z= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Chứng minh:

$ab^2c^3\leq 1$

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$x^2y+y^2z+z^2x\geq xy+yz+zx$

1) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh:
$-4\leq a^2b+b^2c+4c^2a-5abc\leq 128$
2)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^9+y^9=2$. Chứng minh:
$x^3+y^3\geq 2xy$
3) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=-1$ hoặc $a+b+c=-abc$. Chứng minh:
$\frac{1}{2}\geq \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\geq \frac{-1}{2}$

4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$x^{3}+y^3+z^3\geq x\sqrt{y+z}+y\sqrt{z+x}+z\sqrt{x+y}$

5)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $ x+y+z=xyz$. Chứng minh:

$xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}$

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Tìm GTLN:

$(x-1)(y-1)(z-1)$

7)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq xyz$. Chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq xyz$

8)Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$. Chứng minh:

$ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

9)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq xyz$. Chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq \sqrt{3}xyz$

10)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh:

$x^3+y^3+z^3+6xyz\geq 9$

Bài 10 :

Dễ thấy $x,y,z\leq 3$.

Suy ra $(3-x)\geq 0 ;(3-y)\geq 0 ;(3-z)\geq 0 $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số trên, ta có được:

$(3-x)(3-y)(3-z)\leq \frac{(3-x)^{3}+(3-y)^3+(3-z)^3}{3}$

$\Leftrightarrow 27+3(xy+yz+zx)-xyz+9(x+y+z)\leq 27-9(x+y+z)+3(x^2+y^2+z^2)- \frac{x^3+y^3+z^3}{3}$

$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq 3(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)$

 

Mặt khác:

$x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^2\Leftrightarrow 3x^2\leq 2x^3+1$.

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, ta có:

$3(x^2+y^2+z^2)\leq 2(x^3+y^3+z^3)+3=9$

Suy ra : $3(xy+yz+zx)-xyz\leq 9-1=8$ 

1))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Chứng minh : 

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

b)$x+y+z\leq \frac{3}{2}$

c)$xy+yz+zx\leq \frac{3}{4}\leq x^2+y^2+z^2$

d)$xy+yz+zx\leq \frac{1}{2}+2xyz$

2))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh:

a)$xyz\geq 27$

b)$xy+yz+zx\geq 27$

c)$x+y+z\geq 9$

d)$xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

3))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx+2xyz=1$. Chứng minh:

a)$xyz\leq \frac{1}{8}$

b)$x+y+z\geq \frac{3}{2}$

c)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4(x+y+z)$

4))Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $0< x\leq y\leq z$ và $x+y+z=xyz+2$ . Chứng minh:

a) $(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geq 0 $

b)$x^{2}y\leq 1; x^{3}y^{2}\leq \frac{32}{27}$

5))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xyz\geq xy+yz+zx$. Chứng minh

$xyz\geq 3(x+y+z)$ 

6))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh

$x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}\leq \frac{1}{3}$

7))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\geq x+y+z$

8))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx\leq 3xyz$. Chứng minh:

$\frac{a^{4}b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}\geq 1$

9))Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

10))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm GTLN:

$3(xy+yz+zx)-xyz$

11))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN: 

$x+y+z+xyz$

12))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)$

Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}$

Dấu = xảy ra khi (a;b;c)=(1;1;0) thôi 

VD với bộ 3 Số a=b=1;c=0 bạn thay vào xem; $\sum \frac{ac}{a+c}= \sum \frac{ac}{2}$    

Cách giải của mình: 

Ta chứng minh $\sum \frac{ab+1}{a+b}\geq 3$ 

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{ab+1}{a+b}\geq \sqrt{3\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})}$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:

$\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})\geq 3$

Bất đẳng thức tương đương

$\sum (\frac{ab+1}{a+b}.\frac{bc+1}{b+c})=\frac{\sum (ab+1)(bc+1)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)+\sum a(b^2+c^2)+2abc(ab+bc+ca)+6abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(a+b+c)+\sum a(b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)+\sum a(b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 3$

(Do $ab+bc+ca\geq 1$)

 Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{5}{2}$

Đặt $a+b=x$,  $b+c=y$,  $c+a=z$, do $a,b,c\geq 1$ nên $x,y,z\in [1,2]$ và $x+y+z=4$

Ta có: $(x-1)(x-2)\leq 0\Leftrightarrow x^2+2\leq 3x\Leftrightarrow x+\frac{2}{x}\leq 3$

Tương tự ta có: $\sum x+\sum \frac{2}{x}\leq 9\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$ (đpcm)

Bài này khá hay

Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$

Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\leq\sum a-\sum \frac{ac}{2}\leq \frac{3}{2}$

Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$

Nhưng nó đúng về dấu = 

Đánh giá $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$ đâu xảy ra dấu bằng nhỉ

Bài này khá hay

Xét : $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )+\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1$

Ta có : $\frac{a^{2}}{a+c}+\frac{b^{2}}{a+b}+\frac{c^{2}}{b+c}= \sum \left ( a-\frac{ac}{a+c} \right )\geq \sum a-\sum \frac{ac}{2}\geq \frac{3}{2}$

Mình không chắc lắm về đánh giá : $a+b\leq 2;b+c\leq 2;a+c\leq 2$

Nhưng nó đúng về dấu = 

Ngược dấu rồi bạn

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{c^2+1}$

Sorry các bạn. Là hình thang cân

Cho hình thang cân $ABCD$ với $AB // CD$, điểm $E$ nằm giữa $C$ và $D$. Vẽ đường tròn $O$ đi qua $E$ và tiếp xúc $AD$ tại $D$. Vẽ đường tròn $O'$ đi qua $E$ và tiếp xúc $AC$ tại $C$.. Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của của  hai đường tròn đó. Chứng minh rằng : 

A,B,C,K,D cùng thuộc một đường tròn

Cho $a,b,c$ thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm max

$\frac{a^2}{2-b}+\frac{b^2}{2-c}+\frac{c^2}{2-a}$