Cao thu

1. $x^{3}+\sqrt{1-x^{3}}=x\sqrt{2-2x^2}$

2,$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x$

3,$15x^{2}+2(x+1)\sqrt{x+2}=2-5x$

4,$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$

5,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$

6,$x^2-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{2x^2+5x+2}-8x-5$

7,$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}=2$

8,$\sqrt{5x^2+24x+28}-\sqrt{x^2+x-20}=5\sqrt{x+2}$

Biến đổi tương đương:

$2(x^2+y^2)(x+y+xy+1)\geq (5x+5y+3xy+3)xy \Leftrightarrow 2x^3+2x^3y+2x^2+2y^3+2xy^3+2y^2\geq 3x^2y+3xy^2+3x^2y^2+3xy$

Mặt khác, theo AM-GM thì:

$x^3+x^3y+y^2\geq 3\sqrt[3]{x^6y^3}=3x^2y$

Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTNN:

$\sqrt{xy+2z+2}+\sqrt{yz+2x+2}+\sqrt{zx+2y+2}$

Sở GD&ĐT Nghệ An                      Kỳ Thi Chọn Học Thi Giỏi Lớp 9

                                                               Năm Học 2013-2014

   Đề Chính Thức                                  Môn Thi: Toán- Bảng A

                                                    Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

Câu 2

 

a.Giải phương trình: $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$

 

b.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x+y}=3-2x-y & & \\ x^2-2xy-y^2=2 & & \end{matrix}\right.$

 

 

Câu 2 : 

a. ĐK :$x\geq \frac{-1}{4}$

Phương trình tương đương

$\frac{4x^{2}+5x+1-4(x^2-x+1)}{\sqrt{4x^{2}+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}=9x-3$

$\Leftrightarrow \frac{9x-3}{\sqrt{4x^{2}+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}=9x-3$

Suy ra : $\sqrt{4x^{2}+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

Câu 1(1,5 đ): Cho biểu thức P=$( \frac{3\sqrt x -1}{x-1}-\frac{1}{\sqrt x-1}):\frac{1}{x+\sqrt x}$ với x>0; x khác 1.

1) Rút gọn P

2) Tìm x để 2P-x=3

Câu 2(2đ): Cho phương trình $x^2-5x-1=0$. Biết phương trình có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$. Lập phương trình bậc hai ẩn y( với các hệ số nguyên) có 2 nghiệm lần lượt là $y_{1}=1+\frac{1}{x_{1}};y_{2}=1+\frac{1}{x_{2}}$

Câu 3(1 đ) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{3}{x-2}+\frac{2}{y+1}=\frac{17}{5} & \\ \frac{2x-2}{x-2}+\frac{y+2}{y-1}=\frac{26}{5} & \end{matrix}\right.$

Câu 4:(3đ) Cho đường tròn(O;R). Lấy điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA,MB của(O;R) và góc AMB nhọn(A,B là các tiếp điểm). Kẻ Ah vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O;R) tại N(N khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB và MA theo thứ tự tại I và K(khác A)

1) Chứng minh tứ giác NHBI nội tiếp 

2)Chứng minh tam giác  NHI đồng dạng tam giác NIK

3)Gọi C là giao điểm của NB và HI; gọi D là giao điểm của NA và KI. Đường thẳng CD cắt MA tại E . Chứng minh CI=EA

Câu 5(1,5 điểm)

1)Giải phương trình:$x(x^2+9)(x+9)=22(x-1)^2$

2)Chứng minh với mọi x>1, ta luôn có: $3(x^2-\frac{1}{x^2})<2(x^3-\frac{1}{x^3})$

3)Giải phương trình: $\frac{5x}{\sqrt{5x+4}}=\sqrt{5x+9}-3$

Sai rồi. Dấu bằng xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )\in \left ( 0;0;1 \right )$ và các hoán vị mà.Đây là 1 BĐT đánh lừa dấu bằng.

Giải thế này:

$\sum \frac{x^{2}+1}{y^2+1}=\sum x^2+3-\sum \frac{x^2y^2+y^2}{y^2+1} \leq \sum x^2+3-\sum \frac{y^2(x^2+1)}{2}\leq \frac {\sum x^2-\sum x^2y^2}{2}+3\leq \frac{(x+y+z)^2- \sum 2xy-\sum x^2y^2}{2}+3 \leq \frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$

Nên viết rõ ra như thế này:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geqslant\frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow 3a^{3}\leqslant (2a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geqslant a^{2}b+b^{2}a$ (luôn đúng)

1. Cho k lẻ. Chứng minh: $1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}\vdots 1+2+3+...+n$

2. Cmr $a^{3}-13a\vdots 6$ với mọi a nguyên

3.Cho $mn+1\vdots 24$ Chứng minh : $m+n\vdots 24$

4. Cho $p$ nguyên tố. Biết :$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{m}{n}$ Với m,n nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $m\vdots p$

5.Cho $3^{n}+1\vdots n$ Chứng minh $n\vdots 2$

Ai có link download cuốn Phương pháp giải Toán Bất Đẳng Thức và Cực Trị (dành cho học sinh 8,9) không ạ ? Cho em xin với.

Bài 207: Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình $(x+y)^{2}=k(1+4xy)$có nghiệm nguyên dương x,y

Áp dụng BĐT Bunhiakốpki cho 2 bộ số ($\frac{x}{\sqrt{a}}; \frac{y}{\sqrt{b}};\frac{z}{\sqrt{c}}$) và ( $\sqrt{a}};\sqrt{b}};\sqrt{c}}$)

Dễ thấy a,b,c<3 nên

$(3-a)(3-b)(3-c)\leq \frac{(3-a)^3+(3-b)^3+(3-c)^3}{3}$

$\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)-abc+9(a+b+c)+27\leq 3(a^2+b^2+c^2)+9(a+b+c)+26$

$\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)-abc\leq 3(a^2+b^2+c^2)-1\leq 3.3-1=8$

 Bạn lấy $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3$ ở đâu vậy ? 

Lời giải:

Ta có: A=$abc-(a+b+c)+\frac{ab+bc+ca-1}{abc}$

Để A nguyên thì $\frac{ab+bc+ca-1}{abc}$ nguyên

Hay $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$ nguyên

Mà do a,b,c tự nhiên nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$<3

đến đây thì thử 2 TH rồi giải theo phương pháp cực hạn thì ra!

Bạn có thể nói rõ hơn không ?

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$ Tìm max:

3(ab+bc+ca)-abc

Bài 205: Cho a,b là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+3 \vdots ab.Chứng minh  \frac{a^{2}+b^{2}+3}{ab}=4$