Cao thu

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $2(y^2+yz+z^2)=3(3-x^2)$

Tìm MAX và MIN của $x+y+z$

Câu 1 (7 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình:

a)$3\sqrt{x^2+4x-5}+\sqrt{x-3}=\sqrt{11x^2+25x+2}$

b)$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2)=3x^2+3y^2+2 & & \\ 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^2+8 & & \end{matrix}\right.$

Câu 2 (2 điểm) Tìm $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $3x^2+y^2$ và $3y^2+x^2$ là các số chính phương

Câu 3 (2 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

b) $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

Câu 4 (4 điểm) Cạnh BC của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác tại D. Chứng minh rằng tâm của đường tròn này và các trung điểm của BC và AD nằm trên một đường thẳng

Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ thỏa mãn tồn tại một điểm $F$ nằm trong tam giác sao cho $\widehat{AFB}=\widehat{BFC}=\widehat{CFA}$. $BF$ cắt $AC$ tại $D$, $CF$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh:

$AB+AC\geq 4DE$

Câu 6(2 điểm)Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 9 điểm có tọa độ là các số nguyên và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh có một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 9 điểm trên có diện tích là số chẵn

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$
2) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^{2}+b^2+c^2$
3)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{1}{1+2xy}+\frac{1}{1+2yz}+\frac{1}{1+2zx}\geq 1$. Chứng minh:
$x+y+z\geq 3xyz$
4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq 2+abc$

5)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\leq y\leq z$ và $x+y+z= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Chứng minh:

$ab^2c^3\leq 1$

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$x^2y+y^2z+z^2x\geq xy+yz+zx$

1) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh:
$-4\leq a^2b+b^2c+4c^2a-5abc\leq 128$
2)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^9+y^9=2$. Chứng minh:
$x^3+y^3\geq 2xy$
3) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=-1$ hoặc $a+b+c=-abc$. Chứng minh:
$\frac{1}{2}\geq \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\geq \frac{-1}{2}$

4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$x^{3}+y^3+z^3\geq x\sqrt{y+z}+y\sqrt{z+x}+z\sqrt{x+y}$

5)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $ x+y+z=xyz$. Chứng minh:

$xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}$

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Tìm GTLN:

$(x-1)(y-1)(z-1)$

7)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq xyz$. Chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq xyz$

8)Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$. Chứng minh:

$ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

9)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq xyz$. Chứng minh:

$x^2+y^2+z^2\geq \sqrt{3}xyz$

10)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh:

$x^3+y^3+z^3+6xyz\geq 9$

1))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Chứng minh : 

a) $xyz\leq \frac{1}{8}$

b)$x+y+z\leq \frac{3}{2}$

c)$xy+yz+zx\leq \frac{3}{4}\leq x^2+y^2+z^2$

d)$xy+yz+zx\leq \frac{1}{2}+2xyz$

2))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh:

a)$xyz\geq 27$

b)$xy+yz+zx\geq 27$

c)$x+y+z\geq 9$

d)$xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

3))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx+2xyz=1$. Chứng minh:

a)$xyz\leq \frac{1}{8}$

b)$x+y+z\geq \frac{3}{2}$

c)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4(x+y+z)$

4))Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $0< x\leq y\leq z$ và $x+y+z=xyz+2$ . Chứng minh:

a) $(1-xy)(1-yz)(1-zx)\geq 0 $

b)$x^{2}y\leq 1; x^{3}y^{2}\leq \frac{32}{27}$

5))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xyz\geq xy+yz+zx$. Chứng minh

$xyz\geq 3(x+y+z)$ 

6))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh

$x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}\leq \frac{1}{3}$

7))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\geq x+y+z$

8))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx\leq 3xyz$. Chứng minh:

$\frac{a^{4}b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a}\geq 1$

9))Cho $x,y,z$ là các số thực không âm bé hơn 1 thỏa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. Chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$

10))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm GTLN:

$3(xy+yz+zx)-xyz$

11))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN: 

$x+y+z+xyz$

12))Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)$