tank06536

Cho a;b;c;d $\epsilon$ R thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR
(a+c)(b+d)+2ac+2bd$\leq$$\frac{1}{2}$

$2(ab+bc+cd+ad+2ac+2bd)=2[a(b+c)+d(b+c)+c(a+b)+d(a+b)]=2(b+c)(a+d)+2(a+b)(c+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{2}+\frac{(a+b+c+d)^2}{2}=1$  

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}$

Lâu rồi không ghé vào TOPic , thấy người LIKE khá nhiều , đứng TOP 9 của 4RUM , nên mình post tiếp một số bài tập , ai quan tâm thì vào làm nhé !!

BT$1$ : Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 2$

BT$2$ : Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh 

$(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$ (*)

BT2

ap dung bdt cauchy

(*)$\geq (1-a)2bc+(1-b)2ca+(1-c)2ab =2-6abc$(đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

 $(x+\sqrt{x^{2}+2007})(y+\sqrt{y^{2}+2007})=2007$

$\Leftrightarrow \frac{2007^{2}}{(\sqrt{x^{2}+2007}-x)(\sqrt{y^{2}+2007}-y)}=2007$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2007}-x)(\sqrt{y^{2}+2007}-y)=2007$

Nên $\left\{\begin{matrix}(x-\sqrt{x^{2}+2007})(y-\sqrt{y^{2}+2007})=2007 & \\  (x+\sqrt{x^{2}+2007})(y+\sqrt{y^{2}+2007})=2007& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow xy+(\sqrt{x^{2}+2007})(\sqrt{y^{2}+2007})=2007$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2007})(\sqrt{y^{2}+2007})=2007-xy$

$\Leftrightarrow 2007(x^{2}+y^{2})=-4014xy$

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}=0$ $\Leftrightarrow x+y=0$

Không biết đúng không nữa

 

dung roi (ban nên sửa lại các lỗi latex nhé )

$P\geq 3+3+2+5=13$

Dau "=" xay ra $a=2,b=3,c=4$

ai giai cau cuoi hinh dum voi