Ta có $2P=\sum \frac{2}{a^2+b^2+2}=3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}$
Áp dụng BĐT S.Vac
$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}$
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant a^2+b^2+c^2+9$. BĐT này luôn đúng vì theo Bunhiacopxki thì
$2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 2\sum (b^2+ac)\geqslant a^2+b^2+c^2+3\sum ab=a^2+b^2+c^2+9$
Do đó $2P\leqslant 3-\frac{3}{2}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$
Sao nghĩ ra được mấy cái đó ấy ?
- Riann levil và firetiger06 thích