firetiger05

Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

Mình nghĩ là x+y+z = 2 chứ nhỉ?

Thay x+y+z=2 vào ta có:

VT = $\sum \frac{xy}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{xy}{z+x}+\frac{xy}{z+y})(BĐT phụ   ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)=1$ 

1.Tìm tất cả các cắp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn: $(x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$

À cái này hả.Ừ mình quên không nói,nhg mình nghĩ bài này phải thêm đk đó mới đủ,nếu không chỉ dừng lại ở $\geq \frac{x+y+z}{2}$ thôi bạn ạ.

Làm cách này cũng được nè:

VT=$\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$

P/S : thêm điều kiện abc = 1

ta có:

$\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\left(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\geq \sqrt{\left(a+b+c \right)^2+\frac{16}{81}\left(\frac{9}{a+b+c} \right)^2+\frac{65}{81}\left(\frac{9}{a+b+c} \right)^2}\geq \sqrt{2\sqrt{\frac{16}{81}.9^2}+\frac{65}{16}.\left(\frac{9}{2} \right)^2}=\frac{\sqrt{97}}{2}."="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$

Đoạn này kiểu gì thế bạn?

Mincopski à bạn ?

1.Cho $a,b,c > 0$  và $a+b+c\leq 2$

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$

          Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$

Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$

Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm

để mình ví dụ cho bạn 1 cái này, bạn thử so sánh z=1+i và số 2 xem,theo bạn cái nào lớn hơn?cái nào nhỏ hơn?,mình nghĩ nó cũng giống vậy với bdt trên của bạn,khi chỉ cụ thể không thể so sánh được thì làm sao mà dùng được??

Nhưng mà cô si luôn luôn áp dụng đc cho 2 số dương mà. Làm gì phức tạp thế? Đợi mình thử hỏi 1 người xem

Từ GT --> $\left | (z+\frac{1}{z})(z^{2}-1+\frac{1}{z^{2}}) \right |\leq 2$

Mà $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$

     => $\left | z+\frac{1}{z} \right |\leq 2$

VT$\geq\sum \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}=\sum \frac{2}{a}=\sum 2bc$( do abc = 1 )

Ta cần chứng minh : $\sum 2bc\geq \sum \sqrt{a}+3$

Ta có : $\sum bc \geq 3$ ( cô si )

           $\sum bc\geq \sum c\sqrt{ab}$( BĐT phụ $\sum x^{2}\geq \sum xy$) = $\sum \sqrt{b}$

Cộng vế -> đpcm

P/s: Làm hơi khó nhìn . Vui quá.

Có ý tưởng thế này. Áp dụng BĐT phụ :$\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}$ ta có:

$\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b}=\frac{...}{(b+c+d)(c+d+a)}\geq \frac{4(...)}{(a+2b+c+2d)^{2}}$

T/tự : .... rồi cộng vế lại.

...

Theo mình đề phải là $\left\{\begin{matrix}2x_{1}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}} & & \\ 2x_{2}=x_{3}+\frac{1}{x_{3}} & & \\ ..... & & \\ 2x_{2014}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}} & & \end{matrix}\right.$

Vì nếu thế pt vô nghiệm

Nhân chéo lên ta suy ra được rằng

$x_{1},x_{2}...x_{2014}$ cùng dấu (vì cứ 2 số nhân vs nhau dương)

Th1 $x_{1\rightarrow }x_{2014}> 0$

Cộng cả 2014 vế vs nhau ta có

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...\frac{1}{x_{2014}}=0$ ( vô lý)

Th2 cũng thế

Đề lúc đầu đúng rồi mà.Sửa đề mà làm thế à ? ( phần chữ đỏ )

P/s: Mới làm được đang vui chạy ra định đăng ai ngờ bạn làm được rồi

  

   2/ Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3$

2.

VT= $\frac{a^{2}}{ab+ac-a^{2}}+\frac{b^{2}}{ba+bc-b^{2}}+\frac{c^{2}}{ca+cb-c^{2}}$$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

Ta cần chứng mính :  $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}\geq 3$

Thật vậy: BĐT <=> $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq4(ab+bc+ac)$

                     <=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ ( BĐT này dễ cm )

Vậy : ....

Tìm x biết :

$\left | x+\frac{1}{1.2} \right |+\left | x+\frac{1}{2.3} \right |+\left | x+\frac{1}{3.4} \right |+...+\left | x+\frac{1}{99.100} \right |=100x$

Ta có VT$>$0 => VP > 0 => x>0 

PT <=> $99x$ + $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}$ = 100x

     <=> x = $1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$ ( sử dụng ĐT $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$)

Câu 1 (6,0 điểm):

c)     Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \end{matrix}\right.$ 

Trừ vế và thu được x=y.

Thay vào 1 trong 2 phương trình là ra.

P/s: Làm hơi tắt đi ăn cơm

159.

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2} =2z-z^{2}& \\ (y-z)^{2}=2x-x^{2}& \\ (z-x)^{2}=2y-y^{2}& \end{matrix}\right.$

P/s: kết luận đủ nghiệm nhá.