TonnyMon97

Câu 4a/ Câu trả lời là không do số cuối cùng không thể là số lẻ.

Thật vậy, theo quy luật đề bài ta có:

chẵn + chẵn = chẵn 

lẻ + lẻ = chẵn

chẵn + lẻ = lẻ + chẵn = lẻ

Trước dấu "=" là xóa đi và sau là số viết vào.

Ta thấy số lẽ luôn mất đi 2 hoặc không mất đi qua cả 3 TH ta xóa tùy ý. Mà ta có 1008 số lẻ nên theo luật bất biến rõ ràng số lẻ không thể còn lại cuối cùng.

Cho tam giác ABC với diện tích S. Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và AC. Điểm M khác C và điểm N cùng nằm trên cạnh BC sao cho NM=NC. Các đường thẳng AN và EM lần lượt cắt BF tại P và Q. Đặt $S'$ là diện tích tứ giác MNPQ. Chứng minh rằng:

$\frac{S}{5}\ge S' \ge \frac{S}{6}$

Chứng minh đồng nhất thức Jacobi: $\sum [\overrightarrow{a},[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]]=0$

 

 

Ta chứng minh với 2n+2 có 2n+2 cách
Thì từ 2n có 2n cách

Hình như bạn giải nhằm rồi, Thử n=3 cũng thấy thiếu 

Xét $a>0$ khi đó theo giải thuyết $(1)$ có 2 nghiệm $x_1\le 1\le x_2$

Suy ra $f(1)=a+b+c+d+e <0$  (Do Bảng biến thiên)

Lại có $g(1)=a+b+c+d+e =f(1)< 0$ 

Mặt khác Do $a>0 $ nên tồn tại số thực $t$ đủ lớn để $g(t)>0$

Suy ra: $g(1).g(t)<0 => g(x)=0$ có nghiệm.

Bài 5: hướng đi khác

Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} \right )\Rightarrow ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\\=\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}} \\ \le a\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \right )+b\left ( \frac{1}{4(b+c)}+\frac{1}{a+b} \right )+c\left ( \frac{1}{4(b+c)}+\frac{1}{a+c} \right )=\frac{9}{4}$

Dấu bằng có khi $(x;y;z)=\left ( \frac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15} ;\sqrt{15}\right )$

Từ điều kiện dễ dàng suy ra mẫu số dương

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $P \ge \frac{9}{12+\sum[ 2\ln(x+1)-x]}=\frac{9}{12+\sum f(x)}$

Khảo sát hàm $f(x)$ dễ dàng tìm được: $-1<f(x)\le-1+\ln 4$

Bài này không có GTNN đâu. 

$\frac{1}{a+1}\ge \frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+3}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{(b+2)(c+3)}} \\\frac{2}{b+2}\ge \frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+3}\ge 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+3)}} \\\frac{3}{c+3}\ge \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+2}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+2)}}\\ \Rightarrow 6\ge 8abc\Leftrightarrow abc\le \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT Holder: $a+b+c\le \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

$3^n\equiv 1,3 (mod 8) \Rightarrow 3^n+1\equiv 2,4 (mod 8)$

Hay $3^n+1$ không chia hết cho 8

Suy ra $3^n+1+21.8$ không chia hết cho 8

hay $3^n+169$ không chia hết cho 184 

Suy ra $3^n+169+10.184=3^n+2009$ không chia hết cho 184

$\lim (U_n-1)=\lim(\sqrt[n]{2n+1}-1)=\lim \frac{2n}{\sum_{k=1}^n(\sqrt[n]{2n+1})^{k-1}}=0 \\\Rightarrow \lim U_n=1$

Nếu đề chuyển thành thế này thì giải sao ạ !

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn$x+z+y=0$

Tìm GTNN của $\sum \sqrt{4^{x}+3^{y}}$

Vẫn dùng được: $\sum \sqrt{4^x+3^y} \ge \sqrt{(\sum 2^x)^2 +(\sum \sqrt{3}^x)^2} \ge 3\sqrt{2}$

Tìm Max:

Ta có: $P\le \frac{x}{1+yz}+y+z=x+y+z-\frac{xyz}{1+yz}\le x+y+z$

Mà $1-x^2=y^2+z^2\ge \frac{(y+z)^2}{2} \Rightarrow x+y+z\le x+\sqrt{2(1-x^2)}=2x+\sqrt{2(1-x^2)}-x\le \sqrt{2}$

Dấu bằng có khi $(x;y;z)=(0;\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị

Đặt cosx=t. khi đó giới hạn qui về tính 

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-t(2t^2-1)(4t^3-3t)}{1-t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{8t^6-10t^4+3t^2-1}{t-1}=\lim_{t\rightarrow 0}(8t^5+8t^4-2t^3-2t^2+t+1)=14$

Bài này mà chấm điểm thì zero rồi   nhằm một chỗ duy nhất, quan trọng nhất: t tiến tới 1