bengoyeutoanhoc

Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho biểu thức:

 

$P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$ là một số nguyên.

Mình chỉ xét trường hợp $3$ số $a,b,c$ đôi một khác nhau thôi nhé!

$P=abc-a-b-c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\rightarrow P\in \mathbb{Z}\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\in \mathbb{Z}$

Dễ có $A> 0\Rightarrow A< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

      Giả sử $1\leq a< b< c\rightarrow A< 2\Rightarrow A=1 $

$\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>1$

- Với $a\geq 3\rightarrow b,c>3\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<1\rightarrow$ loại

- với $a=1 \rightarrow A>1\rightarrow$ loại

- Với $a=2 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2bc}=1\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{2}$

+ Nếu $b\geq 4\rightarrow$ loại

$\Rightarrow b=3 (b> a\geq 2)\rightarrow c=5$

Giải hệ phương trình $\huge \left \{ _{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}+\sqrt{y-5}(1)}^{x+y+x^{2}+y^{2}=80} \right.(*)$

$ĐKXĐ: x\geq -1; y\geq 5$

Ta xét $x+1> y-5\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+3> y-3 & \\ x+5> y-1& \end{matrix}\right.\rightarrow VT_{(1)}>VP_{(1)}\rightarrow$ hệ phương trình vô nghiệm

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh nếu $x+1> y-5 \rightarrow $ hệ phương trình vô nghiệm

Do đó $x+1=y-5\Rightarrow x+6=y\rightarrow$ Đến đây thì dễ rồi. Thế vào phương trình còn lại của hệ để tìm $(x;y)$

CM phương trình :

$x^{2009} = y^{2} + y + 2 + x^{2007}$.

không có nghiệm nguyên

Ta có $x^{2009} = y^{2} + y + 2 + x^{2007}\Rightarrow x^{2007}(x^{2}-1)=y^{2}+y+2\Rightarrow (x-1)x^{2007}(x+1)=y^{2}+y+1(1)$

          $VT_{1}\vdots 3$

 - Nếu $y\vdots 3\Rightarrow VP_{1}\equiv 2 (mod .3)$

 - Nếu $y\equiv 1(mod.3)\Rightarrow VP_{1}\equiv 1 (mod.3)$

 - Nếu $y\equiv 2 (mod.3)\Rightarrow VP_{1}\equiv 2 (mod.3)$

Từ đó suy ra phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên $\Rightarrow$ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên $\rightarrow Q.E.D$

$A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}}{\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+\frac{97}{3}+...+\frac{1}{99}}$

Ta biến đổi mẫu tử như sau : 

$\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+\frac{97}{3}+...+\frac{1}{99}=100(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99})-99=100(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99})+1=100(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100})\Rightarrow A=\frac{1}{100}$

Câu 3

Phương trình $\frac{x^{2}}{yz} + \frac{y^{2}}{zx} + \frac{z^{2}}{xy} = 3$ $\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$

$\Rightarrow (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx) = 0$

$\Rightarrow (x + y + z).\frac{1}{2}((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}) = 0$

$\Rightarrow x + y + z = 0$ hoặc x = y = z

Mà phương trình có 3 nghiệm (x, y, z) không đồng thời bằng nhau nên x + y + z = 0. Do đó từ giả thiết ta có:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{c}{r} = 0\\a + b + c = 0 \\p + q + r = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{a + b}{p + q} = 0$

$\Rightarrow (aq + bp)(p + q) + (a + b)pq = 0$

$\Rightarrow aq^{2} + bp^{2} + 2(a + b)pq = 0 (*)$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} = (a + b)(p^{2} + q^{2}) + 2(a + b)pq (*)$ = $(a + b)(p + q)^{2}$ = $-c(-r)^{2}$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} + cr^{2} = 0$

$\Rightarrow (ap^{2})^{3} + (bq^{2})^{3} + (cr^{2})^{3} = 3ap^{2}. bq^{2}. cr^{2}$

Hay $(ap^{2}, bq^{2}, cr^{2})$ là nghiệm của phương trình $\frac{x^{2}}{yz} + \frac{y^{2}}{zx} + \frac{z^{2}}{xy} = 3$

Hai hàng đáng dấu (*) có liên quan gì sao ạ ??!