Đến nội dung

Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

Đăng ký: 26-11-2013
Offline Đăng nhập: 24-10-2015 - 10:52
*****

Trong chủ đề: $P=\frac{3x-1}{x^2-1}+\frac{3y-1...

25-07-2015 - 20:47

Nhầm rồi Thịnh ơi x+y+z=1 thì sao x=y=z=0

À nhầm thât, $x=y=z=\frac{1}{3}$.


Trong chủ đề: $P=\frac{3x-1}{x^2-1}+\frac{3y-1...

25-07-2015 - 20:32

Xét $\frac{1}{3}\geq x,y,z > 0$:

$\Rightarrow P\leq 0$

Xét $x,y,z\geq \frac{1}{3}$:

Dễ dàng CM BĐT sau ( bằng tương đương):

$\frac{3x-1}{x^{2}-1}\leq \frac{-81}{32}(x-\frac{1}{3})$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi công lại theo vế.

Vậy $MAX P=0$ $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.


Trong chủ đề: Chứng minh rằng:$3(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+8bc...

19-07-2015 - 23:44

Câu 3:

Giả sử $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$

Như vậy thì:$\frac{1}{1-a_1}\geq \frac{1}{1-a_2}\geq ...\geq \frac{1}{1-a_n}$

Khi đó áp dụng BĐT Chebyshev ta được:

$\sum \frac{a_1^k}{1-a_1}\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\sum \frac{1}{1-a_1})\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\frac{n^2}{n-1})$

=> ĐPCM

Đề bài không cho $a_1,a_2,...,a_n\geq0$ (có thể nhỏ hơn 0 hay ,..) vậy liệu khi mũ k thì $a_1^k\geq a_2^k\geq ...\geq a_n^k$ có đúng không?


Trong chủ đề: Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức.

13-07-2015 - 23:41

$$P=\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)}$$
Xét hàm số $f(x)=x(1-x^2)$ với $x>0$
Ta có: $f'(x) =1-3x^2 ; f'(x) =0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}>0$
Từ bảng biến thiên ta có $f(x)\le \frac{2}{3\sqrt{3}}\,\,\forall x>0$
Khi đó $$P =\frac{a^2}{f(a)}+\frac{b^2}{f(b)}+\frac{c^2}{f( c)}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tìm max?


Trong chủ đề: $\frac{(1-x)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$

13-07-2015 - 21:49

Ta dự đoán $Min=\frac{-1}{8}$ (Tại đây :D)

Ta sẽ chứng minh: $A\geq\frac{-1}{8}$

$\Leftrightarrow (1-x)(1-xy)+\frac{1}{8}((1+x)^2(1+y)^2)\geq 0$

Rút gọn lại ta được bất đẳng thức tương đương:

$9 - 6 x + x^2 + 2 y - 4 x y + 10 x^2 y + y^2 + 2 x y^2 + x^2 y^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x^2-6x+9)+(10x^2y-4xy+2y)+y^2+2xy^2+x^2y^2\geq 0$

$\Leftrightarrow  (x-3)^2+y(10x^2-4x+2)+y^2(1+2x+x^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow  (x-3)^2+y[(2x-1)^2+6x^2+1]+(x+1)^2.y^2\geq 0$ 

Wolframalpha dùng sao vậy bạn?