Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Lam Ba Thinh

Đăng ký: 26-11-2013
Offline Đăng nhập: 24-10-2015 - 10:52
*****

#570391 Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a+2b}{3...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 07-07-2015 - 18:01

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+m^2}+\sqrt{y^2+n^2}\geq \sqrt{(a+x+y)^2+(b+m+n)^2}$

Ta có: $\sum \sqrt{a+2b}\geq \sqrt{(\sum \sqrt{a})^2+2(\sum\sqrt{a})^2}=\sqrt{3}\sum \sqrt{a}$

$\Rightarrow đpcm$.




#570303 CMR: $\sum \sqrt[3]{(\frac{a}{b+c...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 06-07-2015 - 23:54

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Holder$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^3=27$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sum \sqrt[3]{a} \leq \sum \frac{a+2}{3}=3$

 

$\sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sum \frac{2(b+c)+2}{3}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 27.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?




#568790 Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 28-06-2015 - 22:57

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này :D

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...




#568784 Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 28-06-2015 - 22:32

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn :D

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.




#568717 $$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 28-06-2015 - 18:44

ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được.

Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.




#568232 $$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 26-06-2015 - 08:05

- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$

 

 BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$

$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$

$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$

$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$  (1)

 

 Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$

 

  Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$

$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$

$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$

  -Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$

 

  Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$ 

 

   Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất  thỏa mãn bài toán 

 

 Thay $k=2$ vào BĐT

 

 $< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$

 

 Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$

$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$

         Do đó ta có ĐPCM.

 

      Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán

Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?




#532371 gpt $3^x+4^x=5^x$

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 08-11-2014 - 18:32

$\Leftrightarrow 9^{\frac{x}{2}}+16^{\frac{x}{2}}=25^{\frac{x}{2}}\Leftrightarrow \left ( \frac{9}{25} \right )^{\frac{x}{2}}+\left ( \frac{16}{25} \right )^{\frac{x}{2}}=1$

Vì $\frac{9}{25}< 1\Rightarrow \left ( \frac{9}{25} \right )^{\frac{x}{2}}\leq\frac{9}{25}$

tương tự suy ra $VT\leq1$

đẳng thức xả ra khi và chỉ khi $x=2$

Bạn đánh giá bị sai rồi. Giả sử $x=1$ thì $(\frac{9}{25})^{\frac{1}{2}}> \frac{9}{25}$.




#530866 $\sum \frac{x}{1-x}\leq \sum...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 27-10-2014 - 22:58

BĐT cần cm tương đương

                      $\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

 

 

 

*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:

chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$

                        <=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$

                      Mà x,y,z <1
                     => ĐPCM

2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?




#530516 $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{ab...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 25-10-2014 - 21:33

Bài này trên TH&TT tháng 10. AD vào khóa bài này  đi ạ.




#530361 $\frac{1}{a.b} + \frac{1}{a...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 24-10-2014 - 20:38

$\frac{1}{a.b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{2}{(a+b)^2}=6$

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.




#530285 $\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y+z}...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 23-10-2014 - 23:48

4. $\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )$

 

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )\Leftrightarrow 2\sqrt[4]{ab}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Mặt khác: 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}}=2\sqrt[4]{ab}$

$\rightarrow $đpcm.




#530262 Cho xy=1. Tìm Max \frac{x}{x^{4}+y^{2...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 23-10-2014 - 22:48

Cho xy=1. Tìm GTLN 

 

Cho $xy=1$. Tìm Max $\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$


#530159 Cho a,b>0 và a+b=1. Tìm Min của biểu thức $S=\frac{a}...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 23-10-2014 - 17:50

$\frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}$  mình muốn hỏi lại phần này

Bạn sử dụng BĐT này: $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$.




#530063 Cho a,b>0 và a+b=1. Tìm Min của biểu thức $S=\frac{a}...

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 22-10-2014 - 22:15

$S=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)a}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{(1-b)b}}\geq \frac{2a\sqrt{a}}{1-a+a}+\frac{2b\sqrt{b}}{1-b+b}=2(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b}})\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.




#530039 bài toán về số nguyên tố, số chính phuơng

Gửi bởi Lam Ba Thinh trong 22-10-2014 - 20:58


 

 

Bài 1: Tìm số nguyên $x$ lớn nhất sao cho $A= 4^{27}+4^{100}+ 4^x$ là số chính phương

Bài 2: Tìm các số nguyên tố $a,b,c$ thỏa mãn $a^4 + b^4 =c$

Bài 3: tìm các bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn: $\frac{x+\sqrt[2013]{y}}{y+\sqrt[2013]{x}}$ thuộc Q đồng thời $x^2 + y^2 + z^2$ là số nguyên tố

Bài 4:CMR nếu a,b thuộc Z; $a^2 + b^2$ chia hết cho $P$; $P=4k + 3$; $k$ thuộc $N$ thì $a$ chia hết cho $P$, $b$ chia hết cho $P$

Bài 5: Có hay không số tự nhiên chia cho $a$ và $b$ mà $a.b=2015^{2016}$ còn tổng $a+b$ chia hết cho 2016

Bài 6: Tìm các số nguyên tố $n$ để $a=n^{2014} + 1$ là số chính phương

Bài 7: Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $(2^p + 2^q)$ chia hết cho $p.q$