Lam Ba Thinh

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+m^2}+\sqrt{y^2+n^2}\geq \sqrt{(a+x+y)^2+(b+m+n)^2}$

Ta có: $\sum \sqrt{a+2b}\geq \sqrt{(\sum \sqrt{a})^2+2(\sum\sqrt{a})^2}=\sqrt{3}\sum \sqrt{a}$

$\Rightarrow đpcm$.

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Holder$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^3=27$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sum \sqrt[3]{a} \leq \sum \frac{a+2}{3}=3$

 

$\sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sum \frac{2(b+c)+2}{3}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 27.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Hiện tại không có hứng post bài

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.

ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được.

Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.

- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$

 

 BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$

$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$

$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$

$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$  (1)

 

 Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$

 

  Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$

$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$

$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$

  -Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$

 

  Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$ 

 

   Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất  thỏa mãn bài toán 

 

 Thay $k=2$ vào BĐT

 

 $< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$

 

 Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$

$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$

         Do đó ta có ĐPCM.

 

      Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán

Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?

$\Leftrightarrow 9^{\frac{x}{2}}+16^{\frac{x}{2}}=25^{\frac{x}{2}}\Leftrightarrow \left ( \frac{9}{25} \right )^{\frac{x}{2}}+\left ( \frac{16}{25} \right )^{\frac{x}{2}}=1$

Vì $\frac{9}{25}< 1\Rightarrow \left ( \frac{9}{25} \right )^{\frac{x}{2}}\leq\frac{9}{25}$

tương tự suy ra $VT\leq1$

đẳng thức xả ra khi và chỉ khi $x=2$

Bạn đánh giá bị sai rồi. Giả sử $x=1$ thì $(\frac{9}{25})^{\frac{1}{2}}> \frac{9}{25}$.

BĐT cần cm tương đương

                      $\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

 

 

 

*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:

chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$

                        <=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$

                      Mà x,y,z <1
                     => ĐPCM

2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?

Bài này trên TH&TT tháng 10. AD vào khóa bài này  đi ạ.

$\frac{1}{a.b} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{2}{(a+b)^2}=6$

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

4. $\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )$

 

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\left ( a;b> 0 \right )\Leftrightarrow 2\sqrt[4]{ab}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Mặt khác: 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}}=2\sqrt[4]{ab}$

$\rightarrow $đpcm.

Cho xy=1. Tìm GTLN 

 

Cho $xy=1$. Tìm Max $\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

$\frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}$  mình muốn hỏi lại phần này

Bạn sử dụng BĐT này: $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$.

$S=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)a}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{(1-b)b}}\geq \frac{2a\sqrt{a}}{1-a+a}+\frac{2b\sqrt{b}}{1-b+b}=2(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b}})\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

 

 

Bài 1: Tìm số nguyên $x$ lớn nhất sao cho $A= 4^{27}+4^{100}+ 4^x$ là số chính phương

Bài 2: Tìm các số nguyên tố $a,b,c$ thỏa mãn $a^4 + b^4 =c$

Bài 3: tìm các bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn: $\frac{x+\sqrt[2013]{y}}{y+\sqrt[2013]{x}}$ thuộc Q đồng thời $x^2 + y^2 + z^2$ là số nguyên tố

Bài 4:CMR nếu a,b thuộc Z; $a^2 + b^2$ chia hết cho $P$; $P=4k + 3$; $k$ thuộc $N$ thì $a$ chia hết cho $P$, $b$ chia hết cho $P$

Bài 5: Có hay không số tự nhiên chia cho $a$ và $b$ mà $a.b=2015^{2016}$ còn tổng $a+b$ chia hết cho 2016

Bài 6: Tìm các số nguyên tố $n$ để $a=n^{2014} + 1$ là số chính phương

Bài 7: Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $(2^p + 2^q)$ chia hết cho $p.q$