Lam Ba Thinh

Ta có:$\sqrt{2014+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{2.a.(a+b+c)+\frac{b^2-bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2-2bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}-$$2bc$}$\leq \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

Tương tự có:$A\leq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}\leq 2.1007.\sqrt{2}=2014\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1007}{3}$

Chỗ này nè đáng lẽ ra phải có 1 số = 0 nhưng vô lí nên vì vậy ta thay dấu "$\leq $" thành dấu "$<$".

 

Áp dụng bất đẳng thức:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Có $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c};\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{a+b+2c};\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{4}{2a+b+c}$.

Ta chứng minh:$\frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{2}{2a^2+b^2+c^2+4}\Leftrightarrow 2(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{2}{2a^2+b^2+c^2+4}=\frac{2}{a^2+7}$

Tương tự rồi cộng lại có điều phải CM.Dấu = khi $a=b=c=1$

 

Bài bạn làm đúng rồi mà viết sai nhiều quá.

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+2+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ 

 

Đây là bài toán thi VMO!

Chỗ này bạn biến đổi thế nào vậy?

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+2+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ =>đpcm

 

Đây là bài toán thi VMO!

Cho mình hỏi là bạn trình như thế nào vậy mình đọc không hiểu.

Hiện giờ em đang rất cần gấp toàn tập sách Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán. Mong anh(chị) nào có thì có thể cho hoặc bán lại cho em. Cảm ơn mọi người nhiều.

210)

$x^{2}+y^{2}\geq 1-xy\geq 1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\geq 1\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{2}{3}$

Sao cậu lại suy ra nghiệm như thế.Nó có 3 nhân tử mà bạn bạn xét thiếu trường hợp rồi!Nghiệm lẻ bạn à

Bạn giải rõ ra xem nào vẫn làm theo cách của ban í

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=a & & \\ \sqrt{1-x^2}=b(b\geq 0) & & \end{matrix}\right.$

Theo hệ ta có

$\left\{\begin{matrix}a^3+b^3=\sqrt{2}ab & & \\ a^2+b^2=1 & & \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đẳng cấp nên có:$a^3+b^3=\sqrt{2}a^2b+\sqrt{2}b^2a$

Đên đây giải được rồi nhé bạn.

Cách bạn giải hình như bị sai thì phải vì nếu như giải theo bạn thì x= 0 hoặc -1 hoặc 1

Thử các x=0;1;-1 trên nhận thấy chúng không phải là nghiệm của PT. Suy ra pt vô nghiệm

Mà theo mình thì nghiệm của PT là $\sqrt{\frac{-1}{2}}$ 

202) Ta có: $\prod \left ( a+\frac{1}{a+1} \right )=\prod \left ( \frac{a^{2}}{a+1}+1 \right )=\prod \left (\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{a+1}{4}-\frac{a}{4}+\frac{3}{4} \right )\geq \prod \left( a - \frac{a}{4}+\frac{3}{4}\right )=\frac{27}{64}\prod \left (a+1 \right )\geq \frac{27}{64}\cdot 8\prod \left (\sqrt{a} \right )\geq \frac{27}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1