phamquanglam

Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{a}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a^2}$

1.

Chứng minh vế này trước: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}$

*Bổ đề:

Với $a,b,c,$ dương thì: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Thật vậy:

Bất đẳng thức tương đương: $\sum (\frac{a}{b})^{2}+2\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b})^{2}+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$

Lại có:

$((\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2})(1+1+1)\geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\Leftrightarrow (\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2})\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$

Cộng lại ta có điều phải chứng minh     

*Áp dụng:

Cauchy-scharw:

$(\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}})^{2}\leq (2a+2b+2c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\leq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\leq \sum \frac{a}{b}$

2.

Dùng AM-GM:

$\sqrt{\frac{b+c}{2a}}\leq \frac{\frac{b+c}{2a}+1}{2}=\frac{2a+b+c}{4a}\Rightarrow \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{4a}{2a+b+c}$

Mà: $\sum \frac{4a}{2a+b+c}=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+ab+ac}\geq \frac{(2(a+b+c))^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)}\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Vậy ta có: $\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\dfrac{3}{4}(a+b)^2$$

Xét: $\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+5bc}\geq \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+\frac{5}{4}(b+c)^{2}}=\frac{4a^{2}}{9(b+c)^{2}}$

CMTT: $\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+5ca}\geq \frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+\frac{5}{4}(c+a)^{2}}=\frac{4b^{2}}{9(c+a)^{2}}$

Ta có: $\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+5bc}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+5ca}\geq \frac{2}{9}.(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a})^{2}=\frac{2}{9}(\frac{a^{2}+b^{2}+c(a+b)}{(ab+c(a+b)+c^{2})})^{2}\geq \frac{2}{9}.(\frac{2(a+b)^{2}+4c(a+b)}{(a+b)^{2}+4c(a+b)+4c^{2}})^{2}$

Do $a+b+c=1$ 

Nên: $P\geq \frac{8}{9}(\frac{c-1}{c+1})^{2}-\frac{3}{4}(1-c)^{2}$

Xét hàm $f_{(c)}=\frac{8}{9}(\frac{c-1}{c+1})^{2}-\frac{3}{4}(1-c)^{2}$

Đạo hàm $f_{(c)}^{'}=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}$

Nhìn bảng biến thiên thì $f_{(c)}\geq f_{(\frac{1}{3})}=\frac{-1}{9}$

Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $3a^{2}+3b^{2}-c^{2}=ac+b(c-2a)$ .

Tìm max của $P=\frac{4a^{2}b+2ab^{2}}{(a^{2}+b^{2})c^{2}+b^{2}c^{2}}+\frac{4ab^{2}+2a^{2}b}{a^{2}c^{2}+(a^{2}+b^{2})c^{2}}-\frac{1}{ab}$

Giải bất phương trình sau: 

$(\sqrt{x+4}-1)\sqrt{x+2}\geq \frac{x^{3}+4x^{2}+3x-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}}{(\sqrt[3]{2x+3}-3)(\sqrt{x+4}+1)}$

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $abc+a+c=b$

Tìm max của $P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$

Em lên với người yêu em ạ )))))))))))))))))))) 

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn đẳng thức sau: $2xy+6yz+3zx=2.$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A=\frac{x}{\sqrt[3]{x+4y+9z}}+\frac{2y}{\sqrt[3]{2y+6z+3x}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{3z+2x+6y}}.$$ 

Đặt: $(a,b,c)=(x,2y,3z)$ ta có: $ab+bc+ca=2$

Và tìm min của: $A=\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}$

Ta xét: $\sqrt[3]{a+2b+3c}=\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}.\sqrt[3]{(a+2b+3c).2\sqrt{6}.2\sqrt{6}}\leq \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}.\frac{a+2b+3c+4\sqrt{6}}{3}=\frac{a+2b+3c+4\sqrt{6}}{6\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}\geq \frac{6\sqrt[3]{3}a}{a+2b+3c+4\sqrt{6}}$

CMTT cộng các vế lại ta có: 

$\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}\geq \sum \frac{6\sqrt[3]{3}a}{a+2b+3c+4\sqrt{6}}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}a^{2}}{a^{2}+5\sum ab+4\sqrt{6}\sum a}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}a^{2}}{(a+b+c)^{2}+3\sum ab+4\sqrt{6}\sum a}\geq \sum \frac{6\sqrt[3]{3}(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}+4\sqrt{6}(a+b+c)}$$=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}(a+b+c)}{2(a+b+c)+4\sqrt{6}}$

Ta đặt: $t=a+b+c$ thì $t\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{6}$

Xét: $f_{t}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}t}{2t+4\sqrt{6}}$

$\Rightarrow f_{t}^{'}=6\sqrt[3]{3}.\frac{2\sqrt{6}}{(t+2\sqrt{6})^{2}}> 0$ với mọi $t$

Nên $f_{t}$ luôn đồng biến trên khoảng $t\geq \sqrt{6}$

Nên ta có: $f_{t}\geq f_{\sqrt{6}}=\sqrt[3]{3}$

Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn: $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=x^3+y^3+10(x+y)$

Ta có: $P=x^{3}+y^{3}+10(x+y)=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy+10)=(x+y)(12-xy)=(x+y)(13-\frac{1}{2}(x+y)^{2})=13(x+y)-\frac{1}{2}(x+y)^{3}$

Đặt $t=x+y$ thì ta có $t^{2}=(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=4\Leftrightarrow -2\leq t\leq 2$

Xét $f_{t}=13t-\frac{1}{2}t^{3}$ với $-2\leq t\leq 2$

$f_{t}^{'}=13-\frac{3}{2}t^{2}=0$ $\Rightarrow t=\sqrt{\frac{26}{3}}$ hoặc $t=-\sqrt{\frac{26}{3}}$

Xét trong khoảng thì không có $t$ thỏa mãn nên: 

$Minf_{t}=f_{(-2)}=-22$

$Maxf_{t}=f_{(2)}=22$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm min của M=$\frac{1}{3}((a+b)^{3}+c^{3})+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}-3a^{2}b-3ab^{2}}{3}$

cư 

Em đi xa quá rồi đó em :v 

Anh chỉ mong BĐN vô BK còn CR7 dành vua phá lưới

 

 

 

Hy vọng thế 

Hì trích dẫn lời nói của troll bóng đá và em là 1 troller chính tông     

Cho nên cứ hy vọng đê         

CR7 là số 1 ha!!!!!!!!!!!!
Fan đâu điểm danh coi

Cho $a,b,c$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

Nhờ anh chị em giải giúp mình bpt này với:

$2\sqrt {1 - \frac{2}{x}}  + \sqrt {2x - \frac{8}{x}}  > x$

Từ đầu bài ta có điều kiện như sau: $x\geq 2$ hoặc $-2\leq x< 0$

Với điều kiện $-2\leq x< 0$ thì bất phương trình luôn đúng (do $VT>0;VP<0$)

Xét điều kiện: $x\geq 2$

Bất phương trình tương đương $2\sqrt{x-2}+\sqrt{2x^{2}-8}> x\sqrt{x}$

2 vế không âm nên bình phương: $4(x-2)+2x^{2}-8+4\sqrt{(x-2)(2x^{2}-8)}> x^{3}\Leftrightarrow 4\sqrt{2(x^{3}-2x^{2}-4x+8)}> x^{3}-2x^{2}-4x+8+8$

Đặt: $a=\sqrt{2(x^{3}-2x^{2}-4x+8)}>\geq 0$

Bất phương trình thành: $4a> \frac{a^{2}}{2}+8\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a-4)^{2}< 0$ (vô lí)

Vậy nghiệm là $-2\leq x< 0$

Cho a,b,c thực thõa mãn có tổng bằng 0,a²+b²+c²=6.Tìm GTLN của $A=a^2b^2c^2$

Thực ra là a cũng ngạo muội chữa thôi     chứ cũng không biết bất đẳng thức, có gì ae nhẹ tay, nhẹ nhàng chỉ bảo hộ :

Ta có: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$ nên: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=6\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=6\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+ab=3$

A=$(abc)^{2}=(ab)^{2}(a+b)^{2}=(ab)^{2}(a^{2}+b^{2}+2ab)=(ab)^{2}(3+ab)=(ab)^{3}+3(ab)^{2}$

Lại có hằng đẳng thức: $(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+ab\geq 3ab\Leftrightarrow ab\leq 1$

Xét hàm $f_{t}=t^{3}+3t^{2}$ với $t\leq 1$

Đạo hàm $(f_{t})'=3t^{2}+6t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=-2$

Xét hàm số thì tại $t=-2$ và $t=1$ đều có GTLN bằng 4

Vậy $A_{max}=4$

1. Giải pt $2(1-x)\sqrt{x^{2}+2x-1}=x^{2}-2x+1$

2. Giải hệ pt $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}+y=3 & & \\ 2(x^{2}+y^{2}+xy)+x=5 & & \end{matrix}\right.$

Từ bé đến giờ mới làm được bài           May quá :v 

1.

$2(1-x)\sqrt{x^{2}+2x-1}=x^{2}-2x+1$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-1+2\sqrt{x^{2}+2x-1})=0$

Suy ra 1 trường hợp là $x=1$ và 1 trường hợp là

$2\sqrt{x^{2}+2x-1}=1-x$ $(x\leqslant 1)$

Bình phương:  $4(x^{2}+2x-1)=x^{2}-2x+1\Leftrightarrow 3x^{2}+10x-5=0$

$x_{1}=\frac{-5+2\sqrt{10}}{3}; x_{2}=\frac{-5-2\sqrt{10}}{3}$

Do minh không đặt điều kiện nên phải thử lại vào phương trình ban đầu xem cái nào thỏa mãn     

2.

$(2)\Leftrightarrow 2(x+y)^{2}-2xy+x=5$

Thế $(1)$ vào $(2)$

$2(3-y)-2xy+x=5\Leftrightarrow x-2xy-2y+1=0\Leftrightarrow (1-2y)(x+1)=0$

Suy ra $y=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-1$

Rồi thay vào là ra ))))))))))

2 bài này hay quá :v :v :v           

Thực ra trở lại là định giải bài cơ   cơ mà khó quá nên đành đi đăng bài     

Giải phương trình sau : $15x^{2}=x+2\sqrt{x^{2}+x+1}+5$