phamquanglam

Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ của khai triển: $f\left( x \right)=x{{\left( 1-2x \right)}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{10}}$ 

Ta có: $x(1-2x)^{5}+x^{2}(1+3x)^{10}=x.\sum_{0}^{5}.C_{5}^{k}.(-2x)^{k} + x^{2}.\sum_{0}^{10}.C_{10}^{l}.(3x)^{l}=\sum_{0}^{5}.C_{5}^{k}.(-2)^{k}.x^{k+1}+\sum_{0}^{10}.C_{10}^{l}.3^{l}.x^{l+2}$

Từ đây để có $x^{5}$ thì ta chọn $k=1$ và $l=3$

Rồi sau đó tính các hệ số trước là xong     

Cho $a, b, c > 0$. CMR:

$\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}\geq 16$

Bài này a không nghĩ ra cách nào ngắn hơn được         

Ta biến đổi từ từ:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\sum \frac{1}{2}(a-b)^{2}$

$27(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)^{3}=27(\sum ab(a+b)+2abc)-8(a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc+3 \sum ab(a+b))=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3})+6abc+3\sum ab(a+b)=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(\sum ab(a+b)+2abc)=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(a+b)(b+c)(c+a)=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+3((a+b)(b+c)(c+a)-8abc)=(-8)(\frac{1}{2}(a+b+c)\sum (a-b)^{2})+3\sum a(b-c)^{2}$$=(-4)(a+b+c)\sum (a-b)^{2}+3\sum a(b-c)^{2}=(-4a-4b-4c+3a)\sum (b-c)^{2}=(-a-4b-4c)\sum (b-c)^{2}$

Ta sẽ có:

$P=\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}-16=\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{3}}=\frac{4\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{(-a-4b-4c)\sum (b-c)^{2}}{(a+b+c)^{3}}$$=\sum (\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{-a-4b-4c}{(a+b+c)^{3}}).(b-c)^{2}$

Ta cần chứng minh $P\geq 0\Leftrightarrow \sum (\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{-a-4b-4c}{(a+b+c)^{3}}). (b-c)^{2}\geq 0$

Áp dụng điều kiện S.O.S làm tiếp nhé..............        

Nhờ anh chỉ cho em chỗ sai

Đây nhé em!

Ta có: $\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.abc}=1$

Mà em ấy chứng minh $\sum \frac{1}{3a}\leq 1$ đúng là sao?????????         

 Bạn í chứng minh đung rồi mà

Ta có: $\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.abc}=1$

Mà em ấy chứng minh $\sum \frac{1}{3a}\leq 1$ đúng là sao?????????         

Từ giả thiết suy ra: $(a+b+c)^2\geq 9$

Ta có: $VT=\sum \frac{a}{a^3+a^3+1}\leq \sum \frac{a}{3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}}=\sum \frac{1}{3a}$

BĐT$\Leftrightarrow \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\leq 1\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3=\frac{(a+b+c)^2}{3}$ (luôn đúng do $3(ab+bc+ca)\leq a^2+b^2+c^2$)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Thay thử $a,b,c$ bất kỳ thỏa mãn $abc=1$ ta đều thu được  $\sum \frac{1}{3a}\geq 1$

Hình như em chứng minh sai rồi

Cho 3 số dương a,b,c 

Chứng minh rằng:

$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}} \geq 3$ 

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Luôn đúng nên có đpcm

Họ tên: Phạm Quang Lâm
Nick trong diễn đàn: phamquanglam
Năm sinh: 1998
Hòm thư: [email protected]
Dự thi cấp: THPT

Cho ba số dương a,b,c.CMR
$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq 3$

Cách này thì không hay được bằng như  cách của đệ 

Dinh Xuan Hung

Bài làm:

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Suy ra điều phải chứng minh     

Đề thi học sinh giỏi

Năm học: 2015-2016

Môn: Toán lớp 12 THPT

Câu I: (4 điểm)

 Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x+1$

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Gọi $f_{(x)}=x^{3}-6x^{2}+9x-3$, tìm số nghiệm của phương trình:

$(f_{(x)})^{3}-6(f_{(x)})^{2}+9f_{(x)}-3=0$

Câu II: (4 điểm)

1) Giải phương trình: $(1+Sinx)(1-2sinx)+2(1+2sinx).cosx=0$

2) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu III: (4 điểm)

1) Từ các chữ số $0,1,2,3,4$ lập các số chẵn có 4 chữ số đôi 1 khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để được số lớn hơn 2012

2) Tính tích phân $I=\int_{\frac{-\amalg }{2}}^{\frac{\amalg }{4}}\frac{(sinx+cosx)dx}{3sin^{2}x+4cos^{2}x}$

Câu IV: (6 điểm)

1) Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho đường tròn $(C): x^{2}+y^{2}=9$, đường thẳng $\bigtriangleup : y=x-3+\sqrt{3}$ và điểm $A(3;0)$. Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên $(C)$ và $B$ là điểm sao cho tứ giác $ABMO$ là hình bình hành. Tính diện tích tam giác $AMB$, biết trọng tâm $G$ của tam giác $AMB$ thuộc $\bigtriangleup$ và $G$ có tung độ dương

2) Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình chữ nhật có $AB=a$ và $BC=2a$, mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy, các mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BD$ là $\frac{2a}{\sqrt{6}}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$

b) Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BD$

Câu V: (2 điểm)

 Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x> \frac{1}{3},y> \frac{1}{2},z> 1,\frac{3}{3x+2}+\frac{2}{2y+1}+\frac{1}{z}\geq 2$

Tìm GTLN của $A=(3x-1)(2y-1)(z-1)$ 

Bài này chắc ai cũng làm được     

Nói riêng với

nè...........mình thấy mấy bài như thế này đặc biệt hay và quan trọng nữa vì nó còn liên quan đến đề thi đại học.....có thể thì mong bạn cố đăng nhiều bài như thế này nữa......

Giờ mình mới chỉ nghĩ ra được bài 1 thôi.

Bài 1 :Cho $x,y$ thỏa $x,y \in \left [ 1;2 \right ].$ Tìm GTNN : $$P=\frac{x+2y}{x^2+3y+5}+\frac{y+2x}{y^2+3x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}$$ 

 

Ta có: $(x-1)(2-x)\geq 0\Leftrightarrow 3x-2\geq x^{2}$

Nên: $\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}\geq \frac{x+2y}{3x+3y+3}$

CMTT: $\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}\geq \frac{y+2x}{3x+3y+3}$

Nên: $\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}+\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}\geq \frac{3x+3y}{3x+3y+3}=\frac{x+y}{x+y+1}$

Ta phải tìm min của: $P\geq \frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4(x+y)-4}$

Đặt $t=x+y$ $\Rightarrow 2\leq t\leq 4$

Ta có $P=f_{t}=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4}$

$\Rightarrow f'_{t}=(\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4})'=(\frac{4t^{2}-3t+1}{4t^{2}-4})'=\frac{12t^{2}-40t+12}{(4t^{2}-4)^{2}}$

$f_{t}=0\Rightarrow t=3$

Vẽ bảng biến thiên ta nhận thấy $f_{t}\geq \frac{7}{8}$ với $t=3$

Vậy $P$ min bằng $\frac{7}{8}$ với $(x;y)=(1;2);(2;1)$

Cho $a,b,c>0$.CMR: $\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$

Ta phải chứng minh: $P=\frac{3}{3+a}+\frac{4}{4+b}+\frac{5}{5+c}\leq \frac{12}{12+a+b+c}\Leftrightarrow \frac{9}{a+3}+\frac{16}{b+4}+\frac{25}{c+5}\geq \frac{144}{12+a+b+c}$

Điều này luôn đúng do Cauchy-Schawr: $\frac{9}{a+3}+\frac{16}{b+4}+\frac{25}{c+5}\geq \frac{(3+4+5)^{2}}{12+a+b+c}= \frac{144}{12+a+b+c}$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Bài 2: Cho $a,b,c>0.$ Tìm GTNN: $M=\frac{a^2}{(a+c)^2}+\frac{b^2}{(b+a)^2}+\frac{c^2}{(c+b)^2}$

 

Ta có: $M=\sum \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}=\sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^{2}}$

Đặt: $(x,y,z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$ nên $xyz=1$

Nên: $M=\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}$

Ta lại có: $(1+xy)(1+\frac{x}{y})\geq (1+x)^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq \frac{y}{(1+xy)(x+y)}$

CMTT: $\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{x}{(1+xy)(x+y)}$

$\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{x+y}{(1+xy)(x+y)}=\frac{1}{1+xy}$

Ta có: $M=\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(z+1)^{2}}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}$

Giờ chứng minh $\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow (z-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu bằng khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$

Sao nick em không có phần gõ LATEX mấy anh ơi       

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Ta biến đổi vế trái :

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1)=\frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)(a+b)+(a-c)(a+c)}{b^{2}+c^{2}}= \frac{1}{2}\sum (\frac{(a-b)(a+b)}{b^{2}+c^{2}}-\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}+c^{2}})=\frac{1}{2}\sum (a-b)(a+b)\frac{(a-b)(a+b)}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}$

Ta biến đổi vế phải: 

$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{c+a})=\frac{1}{2}\sum (a-b)\frac{a-b}{(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{1}{(b+c)(c+a)}$

Nên:

$VT-VP=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}-\frac{1}{(b+c)(c+a)})$

Sử dụng tiêu chuẩn 2 của $S.O.S$ ta suy ra điều phải chứng minh 

Giải phương trình:

$2(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})(1+\sqrt{x^2-1})=x\sqrt{x}$

Ra $x=\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$ đúng ko

Thực ra bài này có 1 nghiệm mà cũng ko nghĩ ra cách gì khả quan hơn nên làm đại vậy       

Điều kiện: $x\geq 0$

Ta có: $2(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})(1+\sqrt{x^{2}-1})=x\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{2(1+\sqrt{x^{2}-1})}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=x\sqrt{x}\Leftrightarrow 2+2\sqrt{x^{2}-1}=x^{2}+x\sqrt{x^{2}-x}$

Nhân liên hợp về sau ta có: $(x-\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}).P_{x}=0$

$\Rightarrow x=\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$