Tìm kiếm
Nam
Buổi thi thứ nhất.
Bài 1. (5 điểm)
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}\in \left ( 0;1 \right )\\ x_{n+1}=x_{n}+\left ( \frac{x_{n}}{n} \right )^{2}, \forall n\geq 1\end{matrix}\right.$$ Dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có hội tụ không? Tại sao?
Bài 2. (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $$f\left ( 2x-y \right )-6\left ( x+1 \right )\left ( x-y \right )^{2}=2f\left ( x \right )-f\left ( y \right ),\: \forall x,y\in R$$
Bài 3. (5 điểm)
Cho bảng $3\times 3$ (gồm 3 hàng ngang và 3 cột dọc). Kí hiệu ô vuông $\left ( i;j \right )$ là ô vuông giao của hàng thứ $i$ (tính từ trên xuống) và cột thứ $j$ (tính từ trái sang phải). Có bao nhiêu cách điền vào các ô vuông, mỗi ô một số tự nhiên (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng $2015$, đồng thời trong các ô $\left ( i;i \right ),\: i=\overline{1,3}$ thì ô $\left ( 2;2 \right )$ ghi số nhỏ nhất.
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$. đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Lấy điểm $J$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $BJ$ song song $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AB$. Chứng minh rằng $IK$ song song $EF$.
Buổi thi thứ hai.
Bài 5. (7 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $AB> AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của $AB,AC$ cắt tia $AM$ tại $D,E$ tương ứng. Đường thằng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$ ($F$ nằm trong tam giác $ABC$)
a) Chứng minh $AF$ là phân giác ngoài góc $EFD$
b) Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 6. (7 điểm)
Cho hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^{2}+2b$ là số chính phương. Chứng minh rằng $a^{2}+b$ có thể phân tích thành tổng của hai số chính phương.
Bài 7. (6 điểm)
Trong dịp chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam $20-11$ và khánh thành trường mới, Đoàn trường THPT Chuyên Lương Thế VInh tổ chức thi văn nghệ. Để chọn ra các tiết mục xuất sắc biểu diễn trong ngày lễ, Ban chấp hành Đoàn trường đã tổ chức duyệt văn nghệ trong $6$ buổi. Biết rằng trong mỗi buổi có đúng $100$ học sinh tham gia để cổ vũ cho các tiết mục và không có hai học sinh nào mà hợp lại tham gia đủ cả $6$ buổi. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh đã tham gia cổ vũ cho các tiết mục văn nghệ trong $6$ buổi trên.
