hettien

Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử y⩾z.

$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{x}+\sqrt{z}$

Nếu n lẻ thì 2n≡−1 (mod 3). 
Từ phương trình đã cho ta suy ra z2≡−1 (mod 3), loại.
Nếu n chẵn thì n=2m(m∈N) và phương trình đã cho trở thành:
       z2–22m=153 hay (z–2m)(z+2m)=153.
Cho z+2m  và z–2m  là các ước của 153 ta tìm được m=2,z=13.
Đáp số : n=4,z=13.

$2^{n}+12^{2}=z^{2}-3^{2}$

Vì x,y nguyên tố nên x,y≥2. 
Từ phương trình đã cho ta suy ra z≥5 và z lẻ (do z nguyên tố). Vì z lẻ nên x chẵn hay x=2. Khi đó, z=1+2y.
Nếu y lẻ thì z chia hết cho 3 (loại). Vậy y=2.
Đáp số : x=y=2 và z=5.