hettien

tiếp nhé:Cho a, b > 0. Chứng minh . Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

                    ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP $9$ VÒNG $1$ NĂM HỌC $2013-2014$ 

                                               Môn : Toán , thời gian : $150$ phút 

Câu $1$ a) Cho biểu thức 

                  $M=(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}): (\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6})$

Rút gọn $M$ và tìm $x$ sao cho $M$ nguyên

b) Tính giá trị biểu thức $P=3.x^{2013}+5.x^{2011}+2006$

Trong đó $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}}}-\sqrt{3}$

Câu $2$ : Giải các phương trình sau 

a) $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24$

b) $|2x-x^{2}-1|=2x-x^{2}-1$

Câu $3$ a) Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y=1$

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

b) Cho $\sum \frac{1}{x+y}=6$ với $x,y,z$ là các số thực dương

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

                         $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}$

Câu $4$ : Cho đường tròn $(O,R)$ và hai đường kính $AB$ và $CD$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn này cắt $BC,BD$ lần lượt tại $E,F$ . Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AE,AF$, gọi $H$ là trung điểm của $OA$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm của tam giác $BPQ$

b) Gọi $x$ là số đo góc $BFE$ , tìm vị trí hai đường kính $AB,CD$ sao cho $sin^{6}x+cos^{6}x$ đạt giá trị nhỏ nhất , tính giá trị đó

c) Chứng minh hệ thức $CE.DF.EF=CD^{3}$

d) Chứng minh hệ thức $\frac{BE^{3}}{BF^{3}}=\frac{CE}{DF}$

Câu $5$ , tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4}+n^{3}+1$ là số chính phương

                                                   

câu2 b nhân hai cái đầu và hai cái cuối lại với nhau rồi đặt ẩn để rút gọn bt là xong

Các bạn giải hộ mình mấy bài này với :

bài 1 :

$\forall x\geqslant 0 $

$Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$$\forall x\geqslant 0 Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$

Bài 2 :

$\forall a,b\geqslant 0$

$Cmr:4\sqrt{ab\left | a-b \right |}\leqslant (a+b)^2$

Bài 3 :

$\forall a,b,c\geqslant 0$

$Cmr:\frac{1}{a^2+bc}+ \frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Bài 4 :

$\forall a\geqslant 1$

$Cmr: \sqrt{a-1}\leqslant \frac{a}{2}$

Bài 5:

$\forall a,b\geqslant 0$

$Cmr:(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geqslant 64ab(a+b)^2$

mình chỉ biết làm câu 4 thôi.ta áp dụng bđt côsy ngược cho 2 số là 1 và $\sqrt{a-1}$ ta được:

$\sqrt{a-1}\leq \frac{(\sqrt{a-1}^{2})+1}{2}$.từ đó suy ra điều phải chứng minh