Binh Le

CM như sau

$P=\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}=\sum \frac{a+1+2}{(a+1)^{2}}=\sum \frac{1}{a+1}+\sum \frac{2}{(a+1)^{2}}$

Lại có

$\sum \frac{1}{a+1}=\sum \frac{bc}{1+bc}=3-\sum \frac{1}{bc+1} (1)$

Mặt khác có bdt phụ

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}$

nên $2\sum \frac{1}{(a+1)^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab+1} (2)$

Cộng theo vế $(1);(2)$ ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Câu 3: (4đ)

         

         1. Giải PT $9x^2+12x-2=\sqrt{3x+8}$

     

ĐK

Đặt $\sqrt{3x+8}=-3y+2$

Ta đưa về hệ đối xứng

$$\left\{\begin{matrix} 9x^{2} +12x+3y=4\\ 9y^{2}-12y-3x=4\end{matrix}\right.$$

.....

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 &  & \\   x+y-\sqrt{xy}=3&  &  \end{matrix}\right.$

Đk:

Từ pt $(1)$

$4=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2(x+y+2)}\Rightarrow x+y\geq 6$

Từ pt $(1)$

$x+y=3+\sqrt{xy}\leq 3+\frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$

Do đó $x=y=3$(tmdk)

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN của $P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

$P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)=\frac{4}{3}$

Áp dụng định lý Talet cho tam giác SDR

      SM / SR = 0.5 sinBAC.tan(BAC/2)

      SN / SD = 0.5 sinEDF.tan(EDF/2)

Giải thích hộ mình