Quanghuy2399

a) Bđt này rất quen thuộc. Đây chính là bđt Schwarz.
b) Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - xyz + 2013x}}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}}\]
Ta phân tích mẫu số:
\[MS = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z) = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz + zx) + 2013(x + y + z)\]
\[ = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx) = {(x + y + z)^3}\]
Từ đó suy ra:
\[VT \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz + 2013(x + y + z)}} = \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^3}}} = \frac{1}{{x + y + z}}\]

Bài 1:
a) Ta có:
\[A = 1.2...2012 + 1.3.4...2012 + 1.2.4...2012 + ... + 1.2.3...2011\]
Do đó: $A \in \mathbb{N}$.
Ta có: $2013=3.11.61$.
Trong mỗi hạng tử đều chứa các bội khác không của $3,11,61$ nên $A\vdots 2013$
b) Đặt $a,b,c$ lần lượt là 3 cái căn.
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \sqrt[3]{{2012}}\\{a^3} + {b^3} + {c^3} = 2012\end{array} \right. \Rightarrow {(a + b + c)^3} - {a^3} - {b^3} - {c^3} = 0 \Leftrightarrow - 3(a + b)(b + c)(c + a)=0\]
Từ đó dễ dàng có nghiệm.


\[(2) \Leftrightarrow {(z - 5t)^2} = 0 \Rightarrow z = 5t\]

\[{x^2} + 5{y^2} + 4{z^2} - 4xy - 4zy = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(y - 2z)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y = 2z\end{array} \right.\]
Từ đó thay vào $(1)$ dễ dàng có nghiệm

Câu 4 làm thế nào

số $3^{2012}+1$ có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không? tai sao?

Giả sử $3$^{2012}$+1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Đặt $3$^{2012}$+1=a(a+1)=a$^{2}$+a

nếu achia hết cho 3 suy ra vô lý

tương tự với trường hợp khác

Vì vội nên tớ không thể viết chi tiết được

Cmr : Ton tai vo so bo 4 so nguyen duong x,y,z,t co UCLN la 1 tm

$x$^{3}$+y$^{3}$+z$^{3}$=t$^{4}