doanlemanhtung191199

Sử dụng phương pháp S.O.S làm các bài tập sau đây:

1,  Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{2ab}{(a+b)^2}+\frac{\sum a^2}{\sum ab}\geq \frac{5}{2}$

2,  Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{8(\sum a)^2}{\sum a^2}+\frac{3\prod (a+b)}{abc}\geq 48$

Áp dụng bất đẳng thức Minkowki giải các bài tập sau:

1,  Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}>0;\sum a_{i}=1. CMR: \prod (1+\frac{1}{a_{i}})^n\geq (n+1)^n$

2,  Cho $a,b,c>0$. $\sum ab=abc. CMR: \sum \frac{\sqrt{2a^2+b^2}}{ab}\geq \sqrt{3}$

3,  Cho $a,b,c>0$.CMR: $2\prod (1+a^2)\geq (\prod (1+a))(1+abc)$

4,  Cho $a,b,c>0$. CMR:$\sum \sqrt{1+a^2}\geq \sum \sqrt{1+(\frac{a+2b}{3})^2}$

5, CMR: $\prod (a_{i}-1)\leq (\sqrt[n]{\prod a_{i}}-1)^n \forall a>0$

6, CMR: $\sqrt[n]{m+\sqrt[k]{p}}+\sqrt[n]{m-\sqrt[k]{p}}< 2\sqrt[n]{m}\forall n,k\in \mathbb{N^{*}}; m,p,m-\sqrt[k]{p}>0$

7, Cho $a,b,c>0$;$\sum a\leq \frac{3}{2}$. Tìm min: $S=\sum \sqrt[3]{a^3+\frac{1}{b^3}}$

Áp dụng bất đẳng thức Holder để giải các bài tập sau:

1,       Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:         $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

2,       Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:   $\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+bc}}\geq \frac{4}{\sum a}$

3,       Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:      $\sum \left ( \frac{a}{a+b+c} \right )^2\geq \frac{4}{9}$

4,       Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:      $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}\leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$

5,       Cho $a,b,c,d\geq 0;ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}\geq 15$

Từ $\frac{a}{b}> \frac{c}{d}> \frac{e}{f}\Rightarrow ad-bc\geq 1,cf-ed\geq 1$

Ta có: 

$d=d(af-be)=daf-dbe= (adf-bcf)+(bcf-dbe)=f(ad-bc)+b(cf-de)\geq f.1+b.1=b+f$

Cho $a,b,c,d,e,f$ là các số tự nhiên khác 0 biết:$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>\frac{e}{f}$ 

và :$af-be=1$

CMR: $d\geq b+f$

Giải các BĐT sau: 

$1$     Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{(a+b+c)^3}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 28$

$2$     Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}\geq \frac{3}{\sqrt{5abc}}$

$3$     Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{a^3}{(a+b)^3}\geq \frac{3}{8}$

$4$     Cho $a,b,c>0: a+b+c=3$. CMR: $\sum a\sqrt{b^3+1}\leq 5$

$5$     Cho $a,b,c>0: abc=1$. CMR: $\sum \frac{a}{b}\geq \sum a$

$1$       $\left\{\begin{matrix}x+y+xy=z^{2^{2014}}+2z^{2^{2013}} & & \\ x^4+y^4=2z^{2^{2015}} & & \\(x+y)^{z-1}=(z+2013)^{x-y} & & \end{matrix}\right.$

$2$       $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=a^2 & & \\ y^2+yz+z^2=b^2 & & \\ z^2+zx+x^2=c^2 & & \end{matrix}\right.$

Giả sử hệ có nghiệm là $(x;y;z)$

Chứng minh rằng: $x+y+z\leq \sqrt{ab+bc+ca}$

$3$        $\left\{\begin{matrix}x+6\sqrt{xy}-y=6 & & \\ x+\frac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 & & \end{matrix}\right.$

Dùng BĐT $|A|+|B|\geq |A+B|$

Ta có: $y=\sqrt{x^{2}+4x+5}$$\Rightarrow y^2=x^2+4x+5\Leftrightarrow y^2=(x+2)^2+1\Leftrightarrow y^2-(x+2)^2=1\Leftrightarrow (y-x-2)(y+x+2)=1.$

Vì $x,y$ là số nguyên nên xét ước rồi thử lại.

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn: $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình: $(a^2+b^2-1)x^2-2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$ luôn có nghiệm.

Chứng minh rằng: Nếu phương trình $x^4+bx^3+cx^2+bx+1=0$ có nghiệm thì $b^2+c^2>4c-1$

Cho $(O)$. $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến $AB$ và $AC$ ($B,C$ là các tiếp điểm).$BM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$ . $BM$ cắt $(O)$ tại $D$. $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Chứng minh:$BE$ song song với $AC$

2. Cmr $a^{3}-13a\vdots 6$ với mọi a nguyên

Ta có: $a^3-13a=a(a^2-13)$

Xét $a$ chẵn và lẻ thì $a(a^2-13)$ chia hết cho 2.

Xét $a$ chia cho 3 dư 0,1,2 ta luôn có $a(a^2-13)$ luôn chia hết cho 3.

2 và 3 nguyên tố cùng nhau(đpcm)

Ta có :$\sum \frac{a^3}{2b+3c}=\sum \frac{a^4}{2ab+3ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(ab+bc+ca)}$

Lại có : $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

Nên: $\sum \frac{a^3}{2b+3c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{5}(a^2+b^2+c^2)$

Một tứ giác có bốn cạnh là 4 số tự nhiên sao cho tổng của 3 số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại.Chứng minh tứ giác này có hai cạnh bằng nhau.