chiyeuminhem

Hệ phươ: $x, y , z \leq 2$

Xét hàm: $f(t) = \sqrt{2-t}$ ng trình

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y^2 = 2-x\\z^2 = 2-y\\x^2 = 2-z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \sqrt{2-z}\\y = \sqrt{2-x}\\z = \sqrt{2-y}\end{matrix}\right.$

Điều kiệntrong đoạn $[-\infty; 2]$

$f'(t) = \frac{-1}{2\sqrt{2-t}} < 0 \text{ với mọi } t \in [-\infty, 2]$

$\Rightarrow$ hàm nghịch biến

Ta có: $f(x) = z, f(y) = x, f(z) = y \Rightarrow x = y = z$

Thay vào pt (1) ta có: $y = 2 - y^2 \Leftrightarrow y^2 + y - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}y = 1\\ y = -2\end{matrix}\right.$

Bạn dặt U,V 2 lần là ra ( hàm tuần hoàn)

Mình đặt chục lần rùi nhưng mà ko ra, luẩn quẩn lắm, đây là tích phân của đại học, bạn làm theo phương pháp của đh đi, nếu làm đc theo pp phổ thông thì càng tốt :-D

a=x-1  ;  b=y   ;   c=z+1

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$S=2014-8b-6c$

$(8b+6c)^{2}\leq (64+36)(b^{2}+c^{2})=100$

nễn    $-10\leq -(8b+6c)\leq 10$

nên $2004\leq S\leq 2024$

dấu = xảy ra tại min =2004 khi a=0. b=0,8. c=0.6

Max : a=0.b=-0.8. c=-0,6

Sai rùi bạn, Cái chỗ bạn áp dụng bunhia ý. Tại sao $(64+36)(b^2+c^2)$ lại bằng $100$. $b^2 + c^2 = 1$ à?

Pt $\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^{x^2-2x-1+2} + (2-\sqrt{3})^{x^2-2x-1} \leq \frac{4}{2-\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^2.(2+\sqrt{3})^{x^2-2x-1} + (2-\sqrt{3})^{x^2-2x-1} \leq \frac{4}{2-\sqrt{3}}$
Đặt $t = (2+\sqrt{3})^{x^2-2x-1} (t>0)$
$\Rightarrow (2-\sqrt{3})^{x^2-2x-1} = \frac{1}{t}$
Pt $\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^2.t + \frac{1}{t} \leq \frac{4}{2-\sqrt{3}}$
Đến đây bạn quy đồng khử mẫu ra bất phương trình bậc 2 ẩn $t$, bạn tính $\Delta$ rùi giải bình thường, ra được $t$ rùi thay vào tìm tiếp $x$ nhé. T lười viết tiếp quá :-D Lại còn viết latex bằng điện thoại nữa chứ )

Ta có:
$I = \int \frac{\sqrt{x(x-1)}}{x} dx$
$= \int \frac{\sqrt{x}\sqrt{x-1}}{x} dx$
Đặt $t = \sqrt{x-1} \Rightarrow \begin{cases}
x = t^2 + 1 \\
2tdt = dx
\end{cases}$
$\Rightarrow I = \int \frac{t.\sqrt{t^2 + 1}}{t^2+1} 2tdt$
$= 2\int \frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}} dt$
Đặt $t = tanu \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^2u} du$
$\Rightarrow I = 2\int \frac{tan^2u}{\sqrt{1+tan^2u}}. \frac{1}{cos^2u} du$
$= 2\int \frac{tan^2u}{\sqrt{\frac{1}{cos^2u}}}. \frac{1}{cos^2u} du$
$= 2\int \frac{tan^2u}{\frac{1}{cosu}}. \frac{1}{cos^2u} du$
$= 2\int tan^2u. \frac{1}{cosu} du$
$= 2\int \frac{sin^2u}{cos^2u}. \frac{1}{cosu} du$
$= 2\int \frac{1 -cos^2u}{cos^3u} du$
$= 2\left( \int \frac{1}{cos^3u} du - \int \frac{1}{cosu} du \right)$
$= 2(I_1 - I_2) \qquad (*)$
+ Tính $I_1 = \int \frac{1}{cos^3u} du$
$= \int \frac{cosu}{cos^4u} du$
$= \int\frac{cosu}{(1-sin^2u)^2} du$
Đặt $m = sinu \Rightarrow dm = cosu.du$
$\Rightarrow I_1 = \int \frac{1}{((1-m)(1+m))^2} dm$
$= \int \left(\frac{1}{(1-m)(1+m)} \right)^2 dm$
$= \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m} \right)^2 dm$
Đến đây bạn nhân cái bình phương ra thì ta sẽ tách ra được 3 nguyên hàm:
$I_1 a = \int \frac{1}{(1-m)^2} dm$
$I_1 b = \int \frac{1}{(1+m)^2} dm$
$I_1 c = \int \frac{2}{(1-m)(1+m)} dm$
Dễ dàng tính đc $I_1 a$ va $I_1 b$ nhé, nguyên hàm $I_1 c$ lại dùng đồng nhất thức là tính đc. Bạn tự tính đi. T lười viết quá :-D
+ Tính $I_2 = \int \frac{1}{cosu} du$
= $\int \frac{cosu}{1-sin^2u} du$
Đến đây b lại đổi biến $n = sinu \Rightarrow dn=cosudu$.
Sau đó b lại dùng đồng nhất thức để tính.
Tính dc $I_1, I_2$ rùi b thay hết vào $(*)$ thì sẽ ra nguyên hàm ban đầu cần tính.
P/s: bài này dài quá :-P