chiyeuminhem

1. $x=1+\frac{1}{2} \sqrt{x^3+x^2-8x-2} + \sqrt[3]{x^3-20}$

2. $10x^3 - 6X - 4 = (7x^2 - 1)\sqrt{2x^2 - 2}$

3. Giải hệ:

Cho 3 số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x-1)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 1$. Tim max, min của biểu thức sau:
$P= x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 8y - 4z + 2009$

Cho $x, y, a, b$ là 4 số thực dương thỏa mãn: $a^5 + b^5 = 2$ và $a, b \leq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)}$

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7} + \frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7}$

Cho $x, y, z$ là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$P = \frac{4}{\sqrt{x^2y^2+z^2+4}} - \frac{9}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}$

 

MOD: Nghi vấn đề bài

$x^3+6x^2-171x-40(x+1)\sqrt{5x-1}+20=0$

Bài này t hướng dẫn thui nhé. Bạn tự làm sẽ tốt hơn đấy.
Ta có:
$x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$
$\Rightarrow I = \int \frac{1}{(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)} dx$
Đến đây b thử dùng đồng nhất thức đi xem ra k, vì số lẻ t ngại làm quá. Bạn tự làm đi.

Bài 1.
Tạm thời t chưa làm ra
Bài 2.
Điều kiện $x>-1, y>-1$
Từ pt thứ hai của hệ suy ra $y=x+a$, khi đó pt thứ nhất của hệ có dạng:
$$e^x - e^{x+a} = ln(1+x) - ln(1+x+a)$$
$$\Leftrightarrow f(x) = e^x - e^{x+a} - ln(1+x) + ln(1+x+a) =0. \qquad (*)$$
Xét hàm $y=f(x)$ trên tập $D = (-1; +\infty)$, ta có:
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& e^x - e^{x+a} - \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+x+a} \\
&=& e^x(1-e^a) - \frac{a}{(1+x)(1+x+a)} <0, \quad \forall a>0,
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow$ Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $D$.
Mặt khác, ta lần lượt có:
$$\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x) = e^{-1} - e^{a-1} - (-\infty) + lna = +\infty,$$
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) &=& \lim_{x\rightarrow +\infty} \left[e^x(1-e^a) + ln\frac{1+x+a}{1+x} \right] \\
&=& e^{+\infty} (1-e^a) + ln1 = -\infty.
\end{eqnarray*}
Từ đó, suy ra với $a>0$ pt $(*)$ luôn có nghiệm duy nhất, tức là hệ có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $x\leq \frac{3}{4}$
Phương trình $\leftrightarrow 16x^4 - 24x^2 - 3 + 8\sqrt{3-4x} = 0$
$\leftrightarrow 16x^4 - 24x^2 + 5 + 8(\sqrt{3-4x} - 8) = 0$
$\leftrightarrow (2x-1)(8x^3 + 4x^2 - 10x - 5) + 8.\frac{3-4x - 1}{\sqrt{3-4x} + 1} = 0$
$\leftrightarrow (2x-1)(8x^3 + 4x^2 - 10x - 5) + \frac{16(1-2x)}{\sqrt{3-4x} + 1} = 0$
$\leftrightarrow (2x-1)(8x^3 + 4x^2 - 10x - 5 - \frac{16}{\sqrt{3-4x} + 1} = 0$
Pt có nghiệm $x = \frac{1}{2}$
pt 2 vô nghiệm

$$\begin{cases}
(x^2 + y^2)\left( 1 + \frac{1}{xy} \right)^2 = 9 \\
2x - y - xy^2 = 2xy(1-x)
\end{cases}$$
Ai biết giúp em với ạ. Tks.