studentlovemath

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xy+2y^2}=2(x+y))\\x^2-2(x+2)\sqrt{x+y-1}+y\sqrt{x-1}+3(x+y)-1=0\end{matrix}\right.$

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=6; BC=12; $\angle ABC=60^{0}$, thể tích hình chóp C'.ABB'A' bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác A'B'C' sao cho tổng diện tích tất cả các mặt hình chóp M.ABC nhỏ nhất. CMR: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A'B'C'. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng B'M và AC'

Giải phương trình: $log_{3}^{9}(7-x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-2x+8}}$

Cho x,y thay đổi thỏa mãn điều kiện $x+3y=3+\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$

Tìm Min $A=2\sqrt{11-2y}+4\sqrt{x-y+5}$

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a+b+c\leq 6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$Q=\frac{abc(5ab+9bc+8ca)}{(4a+3b)(5b+4c)(3c+5a)}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy+3y^{2}-8y+7=\sqrt{3xy^{3}+6y^{2}}\\  \sqrt{xy+y+7}=\sqrt{y}(5-\sqrt{3y+1}) \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $7x-1-2(x+2)\sqrt{2x-1}+x\sqrt{x-1}=0$

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^2+z^2=3xyz$ 
CMR $\sum \frac{x^{2}}{x^{4}+yz}\leq \frac{3}{2}$

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $(x+y-1)^{2}=xy$. Tính GTNN của $P= \frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

Cho các số thực x,y,z dương. CMR: $\sum \frac{x^{4}}{y^{2}(x+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Cho 2 số thực a và b thay đổi thỏa mãn $a+b\geq 1$ và a>0 .Tìm GTNN của biểu thức: $A=\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (O; R). Đường thẳng d tùy ý đi qua điểm A cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt P và Q sao cho tia AP nằm giữa hai tia AB và AO. Đường thẳng đi qua O và song song với d cắt AC tại N. Gọi M là trung điểm của PQ.

Chứng minh $\frac{MA}{MB+MC}$ là đại lượng không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A.

Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n người ta viết 1 số +1 hoặc -1. Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k ( tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k ( tính từ trái sang).
CMR với mọi cách điền số như trên, đều có: $a_{1}+a_{2}+...a_{n}+b_{1}+b_{2}+...b_{n}\neq 0$

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Đường thẳng đi qua I vuông góc với CI cắt AC BC tại M, N. CM: $BC.AI^{2}+AC.BI^{2}+AB.CI^{2}=AB.AC.BC$
 

Tìm tất cả các bộ hai số chính phương (n;m), mỗi số có đúng 4 chữ số, biết rằng mỗi chữ số của m bằng chữ số tương ứng của n cộng thêm với d ( d là 1 số nguyên dương nào đó cho trước)