anh sang hoc duong

tai lieu nay hay lam anh a!

day anh a!

dau mang ra cho minh di

ah gui di

Cho x,y thỏa mãn x+y=2.CMR: x^2*y^2(x^2+y^2) nhỏ hơn hoặc bằng 2


xét vế trái ta có : VT=xy*xy*(x^2+y^2)
=xy*1/2*2xy*(x^2+y^2)
=> biểu thức này nhỏ hơn hoặc bằng :{ [(x+y)/2]^2 } *1/2* [(x+y)^2/2]^2
=1*1/2*4=2
Xét dấu bằng xảy ra :<=>x=y=1 và 2xy=x^2+y^2
<=>x=y=1

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn hoặc băng 2, ta có:

 

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2^{n}-1}< n$

Giải: cộng cả hai vế cho 1 rồi xét hiệu ta có :

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)+1

Đặt: x^2-5x+5=y , thì ta được :(y-1)(y+1)+1=y^2 (y^2 lớn hơn hoặc bằng 0)

Chứng minh rằng :

            (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) lớn hơn hoăc bằng -1

 

1) cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều , được bất đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho:

                                 a>b , c<d => a-c>b+d

Chú ý:không được trừ cùng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.

2) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều , được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:

                                 a>b, c>0 => ac>bc

3)Tính chất đơn điệu của phép nhân :

 a. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương :

                                 a>b, c>0 => ac>bc

 b. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức :

                                 a>b, c>0 =>ac<bc

4) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm :

                                 $a> b\geq 0,c> d\geq 0$ =>ac>bd

5) Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức :

                                 a>b>0 =>a^n>b^n

                                 a>b <=>a^n>b^n với n lẻ 

                                 IaI > IbI <=> a^n>b^n với n chẵn

6) So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương :

 Nếu m>n>0 thì :       a>1 => a^m > a^n

                                 a=1 =>a^m = a^n

                                 0<a<1 => a^m < a^n

7) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cung dấu :

                         a > b, ab > 0 => 1/a < 1/b

 Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức chặt , chẳng hạn, a > b  còn cặp các bất đẳng thức không chặt , chẳng hạn $a\geq b$ (tức là a > b hoặc a = b) . Trong các tính chất trên , nhiều dấu > (hoặc <) có thể thay bởi $\geq$ (hoặc $\leq$ )

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

        $x^{4}+x^{2}+1=y^{2}$

Ta có :$x^{4}+x^{2}+1\leqslant (x^{2}+1)^{2}$

mà:$(x^{2})^{2}< x^{4}+x^{2}+1$

    <=>$y^{2}\leq (x^{2}+1)^{2} 

Vậy dấu bằng xảy ra 

<=>$y^{2}=(x^{2}+1)^{2}$

<=>$x^{4}+x^{2}+1=x^{4}+2x^{2}+1$

<=>x=0

=>$y^{2}=1$

=>y=1 hoặc y=-1