vipboycodon

$ab+cd = \dfrac{ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)}{k} = \dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{k} = 0$

Bài này nhìn cũng hay phết

1. $PT2 \leftrightarrow (x-y+1)(x^2+y^2+xy+2x+y+4) = 0$

$\leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-y+1 = 0 \\ x^2+y^2+xy+2x+y+4 = 0 \ (*) \end{matrix}\right.$

$(*) \leftrightarrow x^2+(y+2)x+y^2+4y+4 = 0$

$\Delta = -3(y^2+4) < 0$

Vậy $(*)$ vô nghiệm.

BĐT $\leftrightarrow \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge 3\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Sử dụng bđt Holder ta có:

$(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \ge (a^2+b^2+c^2)^3$

Đặt $x = a^2$ , $y = b^2$ , $c = z^2$ ta sẽ chứng minh:

$(x+y+z)^3 \ge 3(xy+yz+xz)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\leftrightarrow \dfrac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz} \ge \dfrac{3\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{x+y+z}$

$\leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}{2(xy+yz+xz)} \ge \dfrac{3[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]}{(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)})}$

$\leftrightarrow 6(xy+yz+xz) \le (x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)})$

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z \leftrightarrow a = b = c$.

Nguồn : trong sách

Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm ta có: 

$\dfrac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\dfrac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\dfrac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2} \ge \dfrac{3}{5}$

Câu 3: $x^4-18x^2+36x+72 = 0$

$\leftrightarrow (x^2+6x+6)(x^2-6x+12) = 0$

Theo bđt bunhia ta có:

$\sqrt{(a^2+\dfrac{1}{a^2})(\dfrac{1}{9}+9)} \ge \dfrac{a}{3}+\dfrac{3}{a}$

$\leftrightarrow \dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}} \ge \dfrac{a}{3}+\dfrac{3}{a}$

tương tự có: 

$\dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \dfrac{b}{3}+\dfrac{3}{b}$

$\dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}} \ge \dfrac{c}{3}+\dfrac{3}{c}$

$\rightarrow \sum{\dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}} \ge \dfrac{a+b+c}{3}+3(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge \dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{27}{a+b+c}$

$= \dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{1}{3(a+b+c)}+\dfrac{80}{3(a+b+c)} \ge \dfrac{82}{3}$

$\leftrightarrow \sum{\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}} \ge \sqrt{82}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$

2. $PT \leftrightarrow (2x+1)(x+\sqrt{x^2+3}) = 9 $

$\leftrightarrow \dfrac{-3(2x+1)}{x-\sqrt{x^2+3}} = 9$

$\leftrightarrow -2x-1 = 3(x-\sqrt{x^2+3})$

$\leftrightarrow 5x+1 = 3\sqrt{x^2+3}$

$(a+b)^{3}=1\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{(a+b)^{3}}{ab}=\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{ab}=4+\frac{3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\geq 4+2\sqrt{3}$

Vậy Min A = $4+2\sqrt{3}$

Theo bđt S.Vac

$A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^3+b^3+3ab}$

$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^2-ab+b^2+3ab}$

$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(a+b)^2}=(1+\sqrt{3})^2$

Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.

Đây là cách làm của mình:

$A = \dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{9}{3ab}-\dfrac{6}{3ab}$

$\ge \dfrac{(1+3)^2}{a^2-ab+b^2+3ab}-\dfrac{2}{ab}$

$\ge \dfrac{16}{(a+b)^2}-\dfrac{2}{\dfrac{(a+b)^2}{4}} = 16-8 = 8$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{2}$

Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm đối xứng của M qua đường phân giác của các góc A, B, C.Chứng minh: AA', BB', CC' đồng quy.

bài 2: Cho tam giác ABM có $\widehat{AMB} = 135^o$, BM = 2 cm, AM = $\sqrt{6}$ cm. tính AB

Câu 1: Cho hai số dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $a+b\geq \frac{4ab}{1+ab}$

 

Câu 2: Chứng minh rằng: $a+4b\geq \frac{16ab}{1+4ab}$ với $a,b$ dương

 

Câu 3: Cho $2x+3y=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^{2}+3y^{2}$

 

Câu 4: Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)$ 

Câu 1: Áp dụng cauchy ta có:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

$1+ab \ge 2\sqrt{ab}$

Nhân vế với vế ta được đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1$.

Câu 2:

$a+4b \ge 4\sqrt{ab}$

$1+4ab \ge 4\sqrt{ab}$

Nhân vế với vế ta được đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a = 1$ ,$ b = \dfrac{1}{4}$

Áp dụng cauchy :

$x^3+x^3+1 \ge 3x^2 $

$y^3+y^3+1 \ge 3y^2$

Cộng vế với vế :

$2(x^3+y^3+1) \ge 3(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow 6 \ge 3(x^2+y^2)$ 

$\Leftrightarrow x^2+y^2 \le 2$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$.

Ta có : $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}+1) \le 0 \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{x}-\sqrt{y} \le 1$

Theo cauchy ta có : $x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \le \dfrac{(\sqrt{xy}+\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{4} = \dfrac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 1$ , $y = 0,25$.

Từ giả thiết ta suy ra :

* $(x+1)(y+1)(z+1) \ge 0 $

$\Leftrightarrow xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1 \ge 0$

$\Leftrightarrow xy+xz+yz+xyz \ge -4$ $(1)$

* $(x-3)(y-3)(z-3) \le 0 $

$\Leftrightarrow xyz-3(xy+xz+yz)+9x+9y+9z-27 \le 0$

$\Leftrightarrow -xyz+3(xy+xz+yz) \ge 0$ $(2)$

Cộng 2 vế của $(1)$ , $(2)$ $\Rightarrow xy+yz+yz \ge -1$

Mà  $x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2-2(xy+xz+yz) \le 9-2.(-1) = 11$ (đpcm)