vipboycodon

2) Đề chắc sai phải là $abcde = 1$. 

Nếu thế :

Áp dụng AM-GM ta có :

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

$b+c \ge 2\sqrt{bc}$

$c+d \ge 2\sqrt{cd}$

$d+e \ge 2\sqrt{de}$

$e+a \ge 2\sqrt{ea}$

Nhân lại ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c =d = e = 1$.

$VT = \dfrac{6-a+5}{a+1}+\dfrac{6-b+4}{b+2}+\dfrac{6-c+3}{c+3} $

$= \dfrac{11-a}{a+1}+\dfrac{10-b}{b+2}+\dfrac{9-c}{c+3}$

$= -1+\dfrac{12}{a+1}-1+\dfrac{12}{b+2}-1+\dfrac{12}{c+3}$

$= -3+12(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3})$

Áp dụng cauchy schwarz cho VT ta có :

$VT \ge -3+12. \dfrac{9}{a+b+c+6} = 6$ (đpcm)

$(x+2)(x+3)(x+4)(x+6) = 420x^2$

$\Leftrightarrow (x^2+8x+12)(x^2+7x+12) = 420x^2$ (*)

Đặt $t = x^2+8x+12$

(*) $\Leftrightarrow t(t-x) = 420x^2$

* Với $t = -20x \Rightarrow x^2+8x+12 = -20x $

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = -14+2\sqrt{46} \\ x = -14-2\sqrt{46} \end{matrix}\right.$

* Với $t = 21x \Rightarrow x^2+8x+12 = 21x $

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 1 \\ x = 12 \end{matrix}\right.$ 

...

bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.

Nhưng khi thi thì phải chứng minh svác-xơ. Nên biến đổi tương đương thì hay hơn.

Làm lại nhá các bạn .

$P = \dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{3}{3xy}$

Áp dụng bdt cauchy - schwart ta có : $P \ge \dfrac{(1+\sqrt{3})^2}{(x+y)^2} = 4+2\sqrt{3}$

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$

BĐT  <=> $\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le 1$

Áp dụng bdt cô-si ta có :

$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}} \le \dfrac{c+a-c}{a+b} \le \dfrac{a}{a+b}$

$\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le \dfrac{c+b-c}{a+b} \le \dfrac{b}{a+b}$

Cộng vế với vế ta có:

$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le \dfrac{a+b}{a+b} \le 1$

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} c = a-c \\ a = b \\ c = b-c \end{cases}$ <=> $a = b = 2c$