vipboycodon

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$

Bài 1: $A = (2x-x^2)(x+2)(x+4)$

= $x(2-x)(x+2)(x+4)$

= $[x(x+2)][(2-x)(x+4)]$

= $(x^2+2x)[-(x^2+2x)+8]$ (*)

Đặt $t = x^2+2x$

(*) $\rightarrow A = t(-t+8) = -(t^2-8t+16)+16 = -(t-4)^2+16 \le 16$

$\rightarrow$ Min $A = 16$ khi $t = 4 \rightarrow x = -1 \pm \sqrt{5}$

Giả sử $ab+bc+ac = 3$.

Ta có:

* $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac) \rightarrow  a+b+c \ge 3$

* $ab+bc+ac \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \rightarrow abc \le 1$

Ta có:

$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8}} = \sqrt[3]{\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc}{8}} \ge 1  = \sqrt{\dfrac{ab+bc+ac}{3}}$

Giải hệ phương trình:

b) $PT \leftrightarrow (x^2-2x-2)(x^2-2x-4) = 0$

c) Đặt $a = x^2-1$ , $b = x^4+x^2+1$

$PT \leftrightarrow 2ab = 2a^2-2b^2$

đề hình như sai ở mấy cái số 2

d) Đặt $a = 2x+2013$ , $b = 2x+2014$

$PT \leftrightarrow a^3+b^3 = (a+b)^3$

toàn cop bài trong sách đăng lên , bài này sử dụng 1 bổ để như sau  (a^2+b^2+c^2)^2 >=3(a^3b+b^3c+c^3a)

Sao bác biết là mấy bạn ấy chép trong sách vậy , sao bạn không nghĩ rằng họ giỏi nên làm được thử nào, chả nhẽ VN chúng ta thiếu nhân tài à  , toàn nghĩ theo chiều hướng đi xuống...

Xem ở http://diendantoanho...hức-thi-dại-họ/

Đề a,b,c > 0 chứ nhỉ

$\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab} = \dfrac{1}{ab(a+b+c)}$

$\rightarrow \sum \dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \sum \dfrac{1}{ab(a+b+c)} =  \dfrac{1}{a+b+c}(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}) = \dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{c+a+b}{abc} = 1$

Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng $\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+yz+2z^2}+\sqrt{z^2+zx+2x^2}\geq 2(x+y+z)$

$BĐT \leftrightarrow \sqrt{(x+\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{7}{4}y^2}+\sqrt{(y+\dfrac{z}{2})^2+\dfrac{7}{4}z^2}+\sqrt{(z+\dfrac{x}{2})^2+\dfrac{7}{4}x^2}$

$\ge \sqrt{(x+\dfrac{y}{2}+y+\dfrac{z}{2}+z+\dfrac{x}{2})^2+\dfrac{7}{4}(x+y+z)^2} = 2(x+y+z)$ (theo bđt mincopski)

Đề phải thế này chứ: $(1+x)(1+\dfrac{y}{x})(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256$

Theo bunhia ta có:

$(1+x)(1+\dfrac{y}{x}) (1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge (1+\sqrt{y})^2 (1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge (1+\sqrt{y})^2(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256$

xem ở đây

$a^2+b^2-ab \le 1$

$\leftrightarrow (a^3+b^3)(a^2+b^2-ab) \le a^5+b^5$

$\leftrightarrow -ab(a-b)^2(a+b) \le 0$ (đúng)

Câu 4:Theo mình có 2 cách

Cách 1: $PT 2 \rightarrow  y = \dfrac{-x^2+6x+6}{2x}$ (x khác 0)

 Thế vào PT1 được $\dfrac{5}{4}x^4-x^3+6x^2+16x = 0$ . giải pt bậc 3 là ok

Cách 2: $PT \leftrightarrow 2xy = -x^2+6x+6$ . Bình phương thần chưởng lên rồi lấy 4.PT1 - PT2...

Cách khác các bạn tham khảo nhé

$PT \leftrightarrow (x-1)^3 = -1-2\sqrt{(x+1)^3}$

Đặt $\sqrt{(x+1)^3} = y$

Ta có hệ:

$\left[\begin{matrix} (x-1)^3 = -1-2y^3 \ (1) \\ (x+1)^3 = y^3 \ (2) \end{matrix}\right.$

Lấy (1)-(2) được: $-6x^2-2 = -1-3y^3 \leftrightarrow 3(x+1)^3-6x^2-1 = 0$ 

tới đây giải pt bậc 3 chắc là ok rồi

Đề nghị các ĐHV xóa các bài spam ở trên

PT $\leftrightarrow (x+1)^3-6x(x+1)-1+2\sqrt{(x+1)^3} = 0$

Đặt $\sqrt{x+1} = t$ ( $\rightarrow x = t^2-1$)

$PT \leftrightarrow t^6-6(t^2-1)t^2-1+2t^3 = 0$

$\leftrightarrow t^6-6t^4+2t^3+6t^2-1 =0$

$\leftrightarrow (t^2-t-1)^2(t^2+2t-1) = 0$

còn cách hay hơn thì chưa nghĩ ra