angleofdarkness

Mình có một số vấn đề về BĐT xin bạn giúp đỡ.

Câu 1: Trong cuốn sách Phương pháp giải toán BĐT và cực trị dành cho học sinh 8, 9

Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng

${{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\ge 4\left( a+b+c \right)\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$.

Lời giải của bài này trong cuốn sách như sau

Do vai trò của a, b, c có tính hoán vị vòng qubạn nên giả sử b nằm giữa a và c.

Nếu $a\ge b\ge c$ thì vế phải của BĐT âm, còn vế trái dương nên BĐT hiển nhiên.

Nếu $c\ge b\ge a$, ta có

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( b-a \right)\left( c-b \right)\left( c-a \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( b-a \right)+\left( c-a \right)\left( c-b \right) \right]}^{2}}$

Ta chỉ cần chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \left( a+b+c \right)\left( b-a \right)+\left( c-b \right)\left( c-a \right)$. BĐT này tương đương với $a\left( 2a+2c-b \right)\ge 0$, đúng do $c\ge b\ge a$.

Mình xin hỏi:”Tại sao lại tách và sử dụng BĐT như vầy

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( b-a \right)\left( c-b \right)\left( c-a \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( b-a \right)+\left( c-a \right)\left( c-b \right) \right]}^{2}}$

Tác giả đã dự đoán dấu bằng ra sao mà lại nhóm như thế? Đã sử dụng kỹ năng nào?

Mình đã thử làm khác đi là: giả sử $a=\max \left\{ a,b,c \right\}$. Nếu $b\ge c$ thì BĐT hiển nhiên. Xét $c\ge b$, sau đó mình làm như sau

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( a-c \right)\left( c-b \right)\left( a-b \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( a-c \right)+\left( a-b \right)\left( c-b \right) \right]}^{2}}$

Ta chỉ cần chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \left( a+b+c \right)\left( a-c \right)+\left( a-b \right)\left( c-b \right)$. BĐT này tương đương với $c\left( 2c+2b-a \right)\ge 0$. Điều này là không chắc chắn.

Bạn hãy giải thích sai lầm của mình ở chỗ nào nhé.

Mình xin cảm ơn

 

- Thứ nhất: BĐT tác giả đã dùng là hệ quả của BĐT Cauchy 2 số: với x, y không âm (tức $\geq 0$) thì $4xy \leq x^2+y^2$ (*)

- Thứ hai: Mấy bài BĐT mà các biến tham gia có vai trò như nhau (hoán vị vòng quanh) thì dấu = xảy ra thường là các biến bằng nhau. Áp dụng đó để nhóm số cho phù hợp. Bạn có thể tham khảo kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy. (sách hoặc search)

- Thứ ba: cách khác của bạn chỉ là suy ra từ cách của tác giả, dĩ nhiên vẫn phải lựa chọn để nhóm các hạng tử mà sử dụng BĐT (*) kia vẫn đúng. Ở đây mình sửa theo cách của bạn là:

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( a-c \right)\left( c-b \right)\left( a-b \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( c-b \right)+\left( a-b \right)\left(  a-c \right) \right]}^{2}}$

Ta chỉ cần chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( c-b \right)+\left( a-b \right)\left(  a-c \right) \right]}^{2}}$. BĐT này tương đương với $b\left( 2c+2a-c \right)\ge 0$.

BĐT này đúng do $a \geq c \geq b$

Chắc bạn chưa hiểu rõ cách c/m và cách nhóm của tác giả nên vận dụng vào k đúng

Đây là HPT đối xứng loại II . Đặt a=tb ta có:

$\left\{\begin{matrix} b^{3}(5t^{3}+1)=17 & & \\ b^{3}(15t^{2}+1)=-38& & \end{matrix}\right.$

Chia theo vế 2 pt và thu được : $190t^{3}+105t^{2}+38t+1=0$

Bấm máy ra nghiệm.Nhưng ngiệm vô tỉ @@

P/s : @Hamhoctoan: cái dạng số phức tạp như thế này mình ko cần phân tích ra mũ 3 đâu.

Chắc nó phải có cái gì đặc biết như lập phương lên chẳng hạn.

Đặt $17\sqrt{5}-38=(a\sqrt{5}+b)^{3}\Leftrightarrow a^{3}5\sqrt{5}+15a^{2}b+ab^{2}3\sqrt{5}+b^{3}=17\sqrt{5}-38\Leftrightarrow \sqrt{5}(5a^{3}+ab^{2})+(15a^{2}b+b^{3})=17\sqrt{5}-38\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5a^{3}+ab^{2} & =17\\ 15a^{2}b+b^{3} & =-38 \end{matrix}\right.$ Sau đó GHPT là ra

P/s: HPT đó mình chưa giải được bạn thông cảm

Mấy bài phân tích căn bậc ba thế này thường trong căn sẽ phân tích thành một lập phương của một tổng, tổng này thường có một hạng tử là một số căn, ví dụ với bài này thì hạng tử đó là $\sqrt{5}$, bằng phép phân tích từ đó ta biến đổi như sau:

$\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}=\sqrt[3]{(\sqrt{5})^3+3.(\sqrt{5})^2.2+3.\sqrt{5}.2^2+2^3} \\ =\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)^3} \\ =\sqrt{5}+2$

tập hợp có tính chất $\left( {A \cup B} \right)\backslash C = \left( {A \cup C} \right)\backslash \left( {A \cup B} \right)$ và $\left( {A \cap B} \right)\backslash C = \left( {A \cap C} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)$ ko

Mình đoán là bạn hỏi để làm bài tập hợp trên TTT2 số vừa rồi đúng k?

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:$x^{2}+x+6=y^{2}$

Đưa về pt tích: $$x^{2}+x+6=y^{2} \\ \Leftrightarrow 4y^{2}-(4x^{2}+4x+1)=23 \\ \Leftrightarrow (2y)^{2}-(2x+1)^2=23 \\ \Leftrightarrow (2y-2x-1)(2y+2x+1)=23$$

Đến đây bạn tự làm tiếp. 

Giải:

b) Để pt có 2 nghiệm đều nguyên $\Leftrightarrow \Delta '=m^2+16$ là số chính phương $\Rightarrow$ $m \in Z^+$

Đặt $m^2+16=a^2(a \in N*)$ $\Leftrightarrow (a-m))(a+m)=16=2^2.2^2=2.2^3$

Vì $a-m\leq a+m\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-m=2^2 & & \\ a+m=2^2 & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a-m=2 & & \\ a+m=2^3 & & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được $m=0;m=3$ (tmđk)

P/s: Hình như câu b sai rồi!!!

Đúng rồi mà bạn, chỉ tội giải thích rõ ra là a - m và a + m cùng tính chắn lẻ.

Tìm nghiệm nguyên dương x,y,z biết $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+3y+2z-4$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+3y+2z-4 \\ \Leftrightarrow 4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}-4xy-12y-8z-16=0 \\ \Leftrightarrow (4x^{2}-4xy+y^2)+(3y^2-12y+12)+(4z^2-8z+4)=0 \\ \Leftrightarrow (2x-y)^2+3(y-2)^2+4(z-1)^2=0$

Như vậy có $(x;y;z)=(1;2;1)$

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng Minh Rằng;

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Đã có tại pic này 

CMR:
Trong 3 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm:
$ax^2+2bx+c=0$
$bx^2+2cx+a=0$
$cx^2+2ax+b=0$

Cộng các biệt thức lại:

$P=\Delta_1 '+\Delta_2 '+\Delta_3 '=\sum (b^2-ab)=\sum a^2 - \sum ab$

Theo BĐT AM - GM thì $\sum a^2 \geq \sum ab$ nên có $P \geq 0$

Như vậy 1 trong 3 số $\Delta_1 ';\Delta_2 '$ và $\Delta_3 '$ sẽ có ít nhất 1 số dương.

Tức trong 3 phương trình cho có ít nhất 1 phương trình có nghiệm.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) $y= x^{2}$ và đường thẳng (d) $y= mx+2$.

a) CMR với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung.

b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại $A(x_{1};y_{1})$ và $B(x_{2};y_{2})$. Tìm giá trị của m để $\left | y_{1} -y_{2}\right |=\sqrt{24-x_{2}^{2}-mx_{1}}$

a/

Pt hoành độ giao điểm: $x^2=mx+2 \Leftrightarrow x^2-mx-2=0 (1)$

Xét 1 . (-2) = -2 < 0 nên (1) luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$ trái dấu.

Tức là với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x²+y²+z² là số nguyên tố.

Đây là đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh của mình (vòng 2) năm ngoái.

t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với

Chọn điểm rơi ở đây tức là chọn giá trị của biến để biểu thức đạt Max - Min cần tìm hay thỏa mãn BĐT đã cho.

Đối với những bài có biểu thức đối xứng giữa các biến (như bài của bạn chẳng hạn) thì điểm rơi thường là các biến bằng nhau.

Dấu $=$ của bạn sai rồi, $x+y+z=3$ cơ mà

Nhầm, đã fix

z nhờ anh giải giúp bài này ";

cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3$ và x+y+z=3$

chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$

cảm ơn anh nhiều

Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$ 

Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$

Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$

Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. & & \\ a+b+c=0 & & \\ ab = 0 & & \\ c^2=4 & & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ c=-2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-1 & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$ (và các hoán vị của chúng)

Đã có chủ đề tại đây

 

vậy thì nhờ mấy anh giúp dùm bài này :

cho a , b là hai số thỏa mãn đẳng thức : $a^{2} + b^{2} +3ab -8a -8b -2\sqrt{3ab} + 19 =0$

 

Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm a và b 

 

Ta có $a^{2} + b^{2} +3ab -8a -8b -2\sqrt{3ab} + 19 =0 \\ \Leftrightarrow (a+b)^{2} -2ab+3ab -8(a+b) -2\sqrt{3}.\sqrt{ab} + 19 =0 \\ \Leftrightarrow [(a+b)^{2}-8(a+b)+16]+[ab-2.\sqrt{ab}.\sqrt{3}+3] =0 \\ \Leftrightarrow (a+b-4)^2+(\sqrt{ab}-\sqrt{3})^2 =0 \\ \Leftrightarrow a+b-4=sqrt{ab}-\sqrt{3}=0 \\ \Leftrightarrow a+b=4;ab=3$

Áp dụng đ/l Viet đảo thì a; b là nghiệm của  pt: $X^2-4X+3=0$