angleofdarkness

cặp mod 001,004 là cặp trai tài gái sắc của trường mình đấy

Thế hóa ra chọn cặp mod tài năng nhất à :3

Cho $A$ là điểm chính giữa của nửa (O;R=2). Dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA$. $M$ là điểm chính giữa cung $AC$. Tính $MB+MC$

Vận dụng các t/c về cung trong đường tròn:

$BC=2.IB=2.\sqrt{OC^2-OI^2}=2.\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{4}}=\sqrt{3}.R$

Tam giác AOC có AO = OC và CI vừa là trung tuyến vừa là đ,cao nên AOC đều.

Như vậy tính được $\angle MBC=\dfrac{1}{2}\angle ABC$ (do M nằm chính giữa cung AC) $=\dfrac{1}{4}\angle AOC=\dfrac{1}{4}.60^o=15^o$

Và $\angle BMC=\angle BAC=2\angle OAC=120^o \\ \angle BMC=180^o-\angle BMC-\angle MBC=45^o$

Áp dụng đ/l hàm số sin vào tam giác MBC:

$\dfrac{MB}{\sin 15^o}=\dfrac{MC}{\sin 45^o}=\dfrac{MB+MC}{\sin 15^o+ \sin 45^o}=\dfrac{BC}{\sin 120^o}=\dfrac{\sqrt{3}.R}{\sin 120^o}=2R$

Suy ra $MB+MC=2R.(\sin 15^o+ \sin 45^o)=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Mình lại không nghĩ vậy, các bài làm mà kết luận luôn tập nghiệm vậy thì dễ quá rồi, vì có rất nhiều công cụ hỗ trợ để tìm nghiệm (Trong chữ ký của mình đó).

 

Theo mình bài làm phải giải rõ chứ không viết mỗi nghiệm ra.

Tuy nhiên,có thể kết luận của mình sai 

 

 

 

Mình cũng nghĩ là đối với mấy bài dạng : "Tồn tại hay không ... " (không riêng ở dạng pt nghiệm nguyên hay chứng minh chia hết của số học, v...v...) thì thường là không tồn tại (nhưng bài này lại đặc biệt có ) Mình cũng nghĩ là nên giải rõ ra sau đó kết luận cụ thể là tồn tại và số thỏa mãn là gì. 

Vậy chắc đa số các bài tìm cụ thể ra (x; y) đều kế luận sai.

MSS54: (làm tiếp)

Bảng giá trị thứ hai: 

Kết hợp cả 2 bảng giá trị ta thấy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề là (1; 2)

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094(*)$$ 

Đề của 

lenin1999

MSS54:

Giả sử tồn tại cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn (*)

Do x;y nguyên nên $2025x^2+2012x+3188$ và $2013x-2011y+2094$ cũng nguyên.

Kết hợp (*) $\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^2 (m \in Z)$

$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=|m|$

Hay $2013x-2011y=|m|-2094$(**)

Ta có $m^2-[(45x)^2+2012x+3188]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-[(45^2x)^2+45^2x.2012+3188.45^2]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2- \Big[ [(45^2x)^2+2.45^2x.1006+1006^2]+5443664 \Big]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-(45^2x+1006)^2=5443664 \\ \Leftrightarrow [45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)]=5443664 (1)$

Do x; m nguyên nên $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ nguyên. (2)

Mà 5443664 $\vdots 2$ nên $[45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)] \vdots 2$

Xét tổng: $[45m-(45^2x+1006)]+[45m+(45^2x+1006)]=90m \vdots 2$ nên ta suy ra $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ đều $\vdots 2$ (3)

Kết hợp (**); (1); (2); (3) ta có bảng giá trị sau:

Cho hỏi cách chứng minh: $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

Ta biến đổi:

$\dfrac{1}{1+a+ab}=\dfrac{c'}{c'+c'a+abc'}=\dfrac{c'}{c'+c'a+1} \\ \dfrac{1}{1+b+bc'}=\dfrac{c'a}{c'a+abc'+abc'^2}=\dfrac{c'a}{c'a+1+c'}$

(Do abc' = 1)

Như vậy thì $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}>\dfrac{c'}{c'+c'a+1}+\dfrac{c'a}{c'a+1+c'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

đpcm.

Cho $a,b,c>0;abc<1$ CMR:$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}<1$

Bài này phải là dấu ">" nhé. Thay một trường hợp vào là thấy mà. Bạn lahantaithe99 sai dấu 1 chỗ

 

Xét số $c'$ sao cho $abc'=1$

 

Mà $abc<1 \rightarrow c<c'$

 

Dễ chứng minh

 

$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

 

Vì $c<c'$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}>$

$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

 

Vậy dpcm

Cách của mình ngắn hơn, dễ hiểu hơn, bạn tham khảo:

$\dfrac{1}{1+a+ab}=\dfrac{c}{c+ca+abc}>\dfrac{c}{c+ca+1} \\ \dfrac{1}{1+b+bc}=\dfrac{ca}{ca+abc+abc^2}>\dfrac{ca}{ca+1+c}$

(Do abc < 1)

Như vậy thì $\sum \dfrac{1}{1+a+ab}>\dfrac{c}{c+ca+1}+\dfrac{ca}{ca+1+c}+\dfrac{1}{1+c+ca}=1$

đpcm.

$min của \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} với x+y+z=3$ 

Bài 120:

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$,. Tìm max $A=2xy(x^{2}+y^{2})$

Đề nghị đăng đúng STT bài để tiện theo dõi,

Ta có

 

$\sum \frac{a^3}{a+2b^3}$$=\sum (a-\frac{2ab^3}{a+2b^3})=3-\sum \frac{2ab^3}{a+2b^3}$ $(1)$

Ta có

 

$\sum \frac{2ab^3}{a+2b^3}\leqslant$ $\sum \frac{2ab^3}{3.b\sqrt[3]{a}}$$=\frac{2}{3}\sum{b.\sqrt[3]{a^2}}$

 

 

Tử là $a^2$ nhé.

Mẫu thiếu mũ 2 của b.

Fix đi bạn 

1) Đề hình như phải là tìm min bạn ạ

 

$2P=\sum \frac{2}{2x+y+z}=\sum \frac{2(x+y+z)}{2x+y+z}=3+\sum \frac{y+z}{2x+y+z}$

 

$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}=\sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)(2x+y+z)}\geqslant \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}$

 

(áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu)

 

Lại có

 

$2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2(x+y+z)^2}{3}$

 

$\Rightarrow 2P\geqslant 3+\frac{3(x+y+z)^2}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{4}$

 

Cũng là Schwarz nhưng thế này có nhanh hơn không:

$P=\sum \dfrac{1}{2x+y+z}=\sum \dfrac{1}{1+x} \geq \dfrac{9}{\sum (1+x)}=\dfrac{9}{4}$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=6abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=6$ CMR

$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}\geq 2$

Cauchy 2 số dương: $\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{c+2b}{9abc} \geq 2.\frac{1}{3a^2} $

$\Leftrightarrow \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{2}{3a^2}-\frac{c+2b}{9abc}=\frac{2}{3a^2}-\frac{1}{9ab}-\frac{2}{9ca}$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \sum \Big(\frac{2}{3a^2}-\frac{1}{9ab}-\frac{2}{9ca}\Big)=\frac{2}{3}.\sum \frac{1}{a^2}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}$

Tiếp tục dùng Cauchy 2 số thì có được $\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{2}{3}.\sum \frac{1}{ab}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}=\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}$

Từ $a+b+c=6abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=6 \Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{1}{3}.6=2$

đpcm.

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

 

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

cosi chỉ dk qui định dùng 2,3 số thôi mà

Ở đây không phải như các kì thi nên dùng cho n số luôn bạn à   

Question 5. How many roots are there in the following equation?

$$(x-1)(x^2-2)(x^3-27)...(x^{2014}-2014^{2014})=0$$

(A) $3051$

(B) $2014$

(C) $3021$

(D) $4028$

(E) None of above

 

Nhận thấy pt cho tương đương với $x^k-k^k=0$ hay $x^k=k^k(k \in N; 1\leq k \leq 2014)$ 

- Xét k lẻ thì các pt luôn có 1 nghiệm duy nhất, mà có 1007 số k lẻ nên sẽ có 1007 nghiệm x.

- Xét k chẵn thì pt luôn có 2 nghiệm (vì x có thể âm hoặc dương), mà có 1007 số k chẵn nên sẽ có 2014 nghiệm x.

Cộng cả hai T.h vào thì đc số nghiệm x thỏa mãn là 3021