Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


lahantaithe99

Đăng ký: 18-12-2013
Offline Đăng nhập: 30-07-2019 - 11:54
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: KẾT QUẢ KỲ THI VMO 2017

27-01-2017 - 23:16

Còn Trương Công Cường (cucuong567)-Giải nhì , Trần Minh Khoa ( Candy Panda)-Giải ba nữa :D 


Trong chủ đề: Topic post ảnh người yêu, bạn gái,...

24-12-2016 - 23:43

-_-  -_-  -_-  -_-

Bạn nào đây sao giống gái Hàn thế ? :mellow:  :mellow:


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 1 năm...

24-09-2016 - 16:08

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG 2 NGÀY 1

 

 

Bài 1: Cho dãy $(x_n)$ với $n\in\mathbb{Z}^+$  xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=3,x_2=7\\ x_{n+2}=x_{n+1}^2-x_n^2+x_n\end{matrix}\right.$

Đặt $y_n=\sum ^{n}_{k=1}\frac{1}{x_k}$. CMR $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Bài 2: Tìm tất cả các cặp $(a,p)$ thỏa mãn $2p^2-1=7^a$ với $p\in\mathbb{P}$ và $a\in\mathbb{N}$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn ( $AB<AC$) nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, trực tâm $H$. $P$ là một điểm nằm trên trung trực của $BC$ và nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $PH$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$. Đường thẳng qua $E$ song song với $AH$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. $Q$ là điểm đối xứng với $P$ qua $O$. Đường thẳng qua $F$ song song với $AQ$ cắt $PH$ tại $G$.

(a) CMR các điểm $B,C,P,G$ cùng thuộc một đường tròn tâm $K$

(b) $AQ\cap (O)\equiv R\neq A$, $PQ\cap FR\equiv L$. Chứng minh rằng $KL=OP$

 

Bài 4: Trong các tập hợp con của tập hợp gồm $2016$ số nguyên dương đầu tiên $\left \{ 1,2,...,2016 \right \}$ có tính chất: Hiệu hai phần tử bất kỳ của tập hợp con luôn khác $4$ và khác $7$ . Tìm GTLN của số lượng các phần tử của mỗi tập con này. 


Trong chủ đề: bổ đề của các hàm số học

16-07-2016 - 17:37

Bổ đề 1:

Đặt $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$

Thấy rằng $\text{VT}=\prod ^{k}_{i=1}p_i^{a_i-1}\prod^{k}_{i=1} \left (p_i-1 \right )+\prod^{k}_{i=1} (p_i^{a_i}+p_i^{a_i-1}+...+1)=n\left[\prod ^{k}_{i=1}\left ( 1-\frac{1}{p_i} \right )+\prod^{k}_{i=1}\left ( \frac{1}{p_i} +1\right ) \right]$

Thế nên ta cần có $\left[\prod ^{k}_{i=1}\left ( 1-\frac{1}{p_i} \right )+\prod^{k}_{i=1}\left ( \frac{1}{p_i} +1\right ) \right]\geq 2$

Điều này hiển nhiên đúng vì những số có dấu âm khi khai triển $\prod ^{k}_{i=1}\left ( 1-\frac{1}{p_i} \right )$ đều bị triệt tiêu bởi những số giống vậy nhưng có dấu dương của biểu thức $\prod^{k}_{i=1}\left ( \frac{1}{p_i} +1\right ) $

Đẳng thức xảy ra khi $n$ là số nguyên tố.

Bổ đề 2: 

 

Ta thấy $\text{VT}=\tau(1)+...+\tau(n)$ là  số các ước nguyên dương của $1,2,...,n$

Mỗi $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ là số các số chia hết cho $i$ từ  $1,2,...,n$. Với $i$ chạy từ $1$ đến $n$ ta có $\sum^{n}_{i=1} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ là số các số chia hết cho $1,2,..,n$ từ $1,2,...,n$, tức là xác định được số ước của mỗi số từ $1,2,...,n$

Do đó $\sum^{n}_{i=1} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor=\tau(1)+...+\tau(n)$

Ta cần CM $2\left ( \left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor \right )=\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{n}{n} \right \rfloor+\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor^2$ $(\star)$

Xét hàm $f(x)=\frac{n}{x}$ thì $f^{-1}(x)=\frac{n}{x}$. Ta thấy hàm $f[1,\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor]\rightarrow [\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor+1,n]$ đơn điệu giảm và khả nghịch. Khi đó $\sum ^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}_{i=1}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor-\sum ^{n}_{i=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor+1}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\alpha (\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor+1)-\left \lfloor n \right \rfloor\alpha (1)=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor^2$, hay ta có $(\star)$, suy ra đpcm


Trong chủ đề: Chứng minh rằng $a \le \left\lfloor1 + \sqrt...

15-05-2016 - 02:19

Bài này khá đơn giản

 

Do tính nhỏ nhất của $a$ nên $\left ( \frac{1}{p} \right )=\left ( \frac{2}{p} \right )=...= \left ( \frac{a-1}{p} \right )=1$

Ta đi tìm số $t$ sao cho $\left ( \frac{t}{p} \right )=-1\Leftrightarrow \left ( \frac{ta}{p} \right )=1$ $(1)$

 

Để ý bổ đề sau: Nếu $x,y\in\mathbb{N}$ mà $\frac{x}{y}\not\in\mathbb{Z}$ thì $\frac{x-1}{y}+1\geq \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor+1$ 

$\Rightarrow x-1+y\geq \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor.y+y$

Chọn $x=p, y=a,\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor+1=b\Rightarrow at\leq p+a-1\Rightarrow at-p\leq a-1$. Kết hợp với $(1)$ suy ra $\left ( \frac{at-p}{p} \right )=1\Leftrightarrow 1=\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{t}{p} \right )\Rightarrow \left ( \frac{t}{p} \right )=-1$. 

Trường hợp đẹp nhất là $t=a$. Nếu $a> \left \lfloor \sqrt{p}+1 \right \rfloor$, dễ chứng minh $t< \left \lfloor \sqrt{p} \right \rfloor+1\leq \left \lfloor \sqrt{p}+1 \right \rfloor$, khi đó $t\neq a$, tức là có một số nhỏ hơn $a$ cũng không là scp mod $p$ ( vô lý)

Do đó ta có đpcm

----------------------------------------------------------------------

P.s: Lần thứ ba làm bài này  :oto: