lahantaithe99

Bài 5

 Đặt $f(x)=(x^2+x+1)^{20}$

$f(1)=a_{0}+a_{1}+...+a_{39}+a_{40}=3^{20}$

$f(-1)=a_{0}-a_{1}+...-a_{39}+a_{40}=1$

$f(1)-f(-1)=2(a_{1}+a_{3}+...+a_{39})=3^{20}-1 \Rightarrow a_{1}+a_{3}+...+a_{39}=\frac{3^{20}-1}{2}$

$3\rightarrow A;0\rightarrow B;0\rightarrow C$

$C=C+1:B=\sqrt[3]{A+B}:A=A$

Bấm = = ..... cho đến khi C=30 thì được kết quả U₃₀ (thực chất chỉ cần bấm đến U mười mấy thôi thì các kq sau sẽ giống nhau) 

U₃₀= 1,67169982

Bài 1:

Biến đổi $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Theo cách trên thì $A=2011+\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}=2011,499503$

Bài 2:

$21!=13!.14.15.16.17.18.19.20.21$

13! thì có thể phần tích thành nhân tử trên máy VN Plus

Do đó: $21!=2^{18}.3^{8}.5^4.7^2.11.13.17.19$

Bài 3: Dễ có

$2013^{6000}\equiv 1(mod 10)$

$2009^{2014}\equiv 1(mod 10)\rightarrow$ hiệu trên tận cùng là 0 

Giả sử $S=2+2^2+2^3+...+2^n$

$2S=2^2+2^3+2^4+...+2^{n+1} \Rightarrow 2S-S= 2^{n+1}-2=S$

Nhân 2 vào S rồi lấy 2S-S thì tìm được S

1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BD, CA và Q là giao điểm của MN với CD.

a/ Chứng minh MN = NQ

b/ Chứng minh NP // CD

a,

Dễ chứng minh $\triangle DNQ\sim \triangle BNM \Rightarrow \frac{NQ}{NM}=\frac{DN}{BN}=1$ suy ra đpcm

b,

Kéo dài MP cắt CD tại K

Tương tự phần a ta có MP=PK suy ra N ,P là trung điểm của MQ và MK

Xét $\triangle MQK$ có NP là đường trung bình nên  NP//QK hay NP//CD

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$$x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

VT bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$A=\sum \frac{a^4}{bc(a^2+b^2)}$$A=\sum \frac{a^4}{bc(a^2+b^2)}$

Áp dụng bđt S.vác có

$A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)+b^3c+c^3a+a^3b}$

Dế thấy $a^3b+b^3c+c^3a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2}{2}$ (theo côsi)

             và $abc(a+b+c)\leq \sum a^2b^2$  

Suy ra $A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2b^2+\frac{a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2}{2}}$ 

$A\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\sum a^2b^2}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1  

Cho hình vuông ABCD. M,N theo thứ tự là trung điểm của AB,BC.Giao điểm của CM và DN là P

CMR AP=AB

Áp dụng $a^n+b^n\vdots a+b$ với n lẻ ta có:

2(1²⁰¹³+2²⁰¹³+....+n²⁰¹³)=$(1^{2013}+n^{2013})+(2^{2013}+(n-1)^{2013})+....+(n^{2013}+1^{2013})\vdots n+1$

2(1²⁰¹³+2²⁰¹³+....+n²⁰¹³)=$(1^{2013}+(n-1)^{2013})+(2^{2013}+(n-2)^{2013})+....+((n-1)^{2013}+1^{2013})\vdots n$

Mà (n,n+1)=1 nên suy ra đpcm

Vậy dấu bằng xảy ra khi nào?

Ta có:

u₁ = 1; u₂ = 5; u₃ = 16; u₄ = 45; u₅ = 121

Gọi công thức truy hồi cần tìm là u_{n + 2} = au_{n + 1} + bu_n + c

Ta có hệ phương trình:

$\LARGE \left\{\begin{matrix} u_{3} = au_{2} + bu_{1} + c \\ u_{4} = au_{3} + bu_{2} + c \\ u_{5} = au_{4} + bu_{3} + c \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 16 = 5a + b + c \\ 45 = 16a + 5b + c \\ 121 = 45a + 16b + c \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 3 \\ b = -1 \\ c = 2 \end{matrix}\right.$

Vậy công thức truy hồi là: 

u_{n + 2} = 3u_{n + 1} - u_n + 2

bạn làm thế không sai nhưng thầy mình bảo làm vậy chưa được chặt chẽ!

2+U_n=$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n$

(2+U_n)$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^(n+1)+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^(n-1)$ (1)

(2+U_n)$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^(n-1)+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^(n+1)$  (2)

Cộng theo từng vế (1) và (2)

=>3(2+U_n)=U_n+1+2+U_n-1+2

$\Leftrightarrow$ 3U_n=U_n+1+U_n-1-2

$\Leftrightarrow$ U_n+1=3U_n+2-U_n-1

Khai triển rồi biến đổi tương đương, rút gọn ta được

$12a^3+3b^3+3c^3\geq 3bc(b+c)-6ab^2-6ac^2+12a^2b+12a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3\geq bc(b+c)-2ab^2-2ac^2+4a^2b+4a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3-bc(b+c)+2ab^2+2ac^2-2a^2b-4a^2c\geq 0 \Leftrightarrow 4a^3+2ab^2+2ac^2-4ab^2-4ac^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0 \Leftrightarrow 2a(a-c)^2+2a(a-b)^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0$

Điều này luôn đúng với a,b,c>0