lahantaithe99

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA KHTN VÒNG 1

Ngày thi: 13/09/2015.  Thời gian: 240 phút

 

Ngày thi thứ hai

 

Câu I: Chứng minh rằng phương trình $x^{2015}-y^{2016}=2115$ không có nghiệm với $x,y\in\mathbb{Z}$

 

Câu II: Tìm số nguyên dương $n\geq 2015$ nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ bậc $n$ với hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất dương và đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện $xP^2(x)-2P(x)=(x^3-x)Q^2(x)$ với mọi $x\in\mathbb{Z}$

 

Câu III: Cho tam giác $ABC$, đường phân giác $AD$. Các điểm $E,F$ nằm trên $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. $M,N$ tương ứng là chân đường cao kẻ từ $C,B$ đến $DE,DF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$ tại $P$ khác $A$

 

Chứng minh rằng $AP$ chia đôi $BC$

 

Câu IV: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đường thẳng nối hai điểm trong chúng được tô bởi đúng một trong bốn màu khác nhau. Tìm $n$ nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại cách tô màu mà với $4$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm đã cho thì các đoạn thẳng nối giữa chúng được tô bởi cả bốn màu khác nhau.

 

                                   -----------------Hết-----------------

 

Đề thi hôm nay có bài hình dạng rất giống bài hình thi vào 10 chuyên KHTN năm nay. Đọc đề tí thì mừng =))

Bữa nay nghe phong phanh anh nguyenta98 làm được nhiều nhất

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM 2015

Môn thi: Toán

 

Ngày thi thứ nhất

 

Câu I: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $3^p+4^p$ là số chính phương

 

Câu II. Cho tam giác $ABC$ tâm nội tiếp $(I)$ và $AI$ cắt $BC$ tại $D$. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ tại $P,Q$ sao cho $P$ nằm giữa $A,Q$.

a) CMR tích $DP.DQ$ không đổi khi $P,Q$ thay đổi

b) Giả sử đoạn thẳng $PQ$ cắt đoạn thẳng $BD$. Trên đoạn $DB$ lấy điểm $M$ sao cho $DM=DP$. Lấy $R$ đối xứng $M$ qua trung điểm $BC$. $(ADR)$ cắt $(IBC)$ tại $S,T$ . $ST$ cắt $BC$ tại $N$. CMR tam giác $DNQ$ cân.

 

Câu III. Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi trên bảng vuông kích thước $3\times 2015$ ( $3$ hàng và $2015$ cột) . Hai người chơi lần lượt, An đi trước. Mỗi lần chơi, An đặt vào bảng một hình chữ nhật ngang $1\times 3$ và Bình đặt vào bảng một hình chữ nhật dọc $3\times 1$. Các hình chữ nhật được đặt vào không được chồng lên nhau. Ai đến lượt mình mà không đặt được hình chữ nhật là thua. Giả sử rằng cả hai bạn đều chơi rất giỏi. Hỏi ai có chiến thuật để chắc chắn dành được chiến thắng? 

Cho $a,b,c\geqslant 1$ thoả mãn $a+b+c+2=abc$. CMR

 

$\frac{\sqrt{ab-1}+\sqrt{bc-1}+\sqrt{ca-1}}{\sqrt[4]{abc}}\leqslant \frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}}$

                     ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LỚP 10 KHTN NĂM 2015

 

Câu I: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x^3+1=3zx & & \\ 2y^3+1=3xy & & \\ 2z^3+1=3yz & & \end{matrix}\right.$

 

Câu II: Cho dãy $\left \{ a_n \right \}$ ( $n\in\mathbb{N^+}$) xác định bởi 

 

$\left\{\begin{matrix} a_1=1,a_2=4 & \\ a_{n+2}=7a_{n+1}-a_n-2 & \end{matrix}\right.$

 

CMR $a_n$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$

 

Câu III: Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $MN$ song song với $BC$. $P$ là điểm di chuyển trên đoạn $MN$. Lấy điểm $E$ sao cho $EP\perp AC$ và $EC\perp BC$. Lấy $F$ sao cho $FP\perp AB$ và $FB\perp BC$

 

a) Chứng minh rằng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển

 

b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc $EF$ cắt $BC$ tại $Q$. CMR trung trực $BC$ chia đôi $PQ$

 

c) Gọi $EM$ cắt $FN$ tại $L$. $AQ$ cắt $MN$ tại $R$. Chứng minh rằng $RL\perp BC$

 

Câu IV Cho đa thứ $P(x)$ thỏa mãn $P(0)=2014!$ và $(x-1)P(x-1)=(x-2015)P(x)$. CMR đa thức $(P(x))^2+1$ không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng $1$

 

Câu V: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$. CMR

 

$P=\frac{(a+\sqrt{b})^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{(b+\sqrt{c})^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{(c+\sqrt{d})^2}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{(d+\sqrt{a})^2}{\sqrt{d^2-ad+a^2}}\leq 16$

 

                                             ____________________Hết______________________

Cho $a,b,c\geq 0$. CMR

$P=\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{24}{(a+b+c)^2}\geq \frac{8}{ab+bc+ac}$