KoBietDatTenSaoChoHot

Cartesian là Đề Các đó em

Nếu chỉ hai phần tử thì mình dùng cách đơn giản là xong, như em nói. Còn chứng minh rằng $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ thì anh chẳng biết cách nào khác là dùng automorphism group. Đại loại là ta có kết quả rằng, nếu $a$ là một nghiệm của $f(t)\in \mathbb{Q}[t]$, và $K$ là một mở rộng trường của $\mathbb{Q}$, thì với mọi $\sigma\in Aut(K/\mathbb{Q})$, $\sigma(a)$ là một nghiệm của $f(t)$.

Bước 1:  Ta tìm hết tất cả các  automorphism của $K$ fix $\mathbb{Q}$, tức là tìm $Aut(K/\mathbb{Q})$. Ở đây, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Việc tìm cái này ko rắc rối lắm, em có thể tham khảo ở đây: http://math.stackexc...2-sqrt3-mathbbq

Bước 2: Dễ dàng thấy rằng, $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Suy ra, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Để chứng minh chúng bằng nhau, ta chỉ cần chứng minh rằng cái minimal polynomial cho $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ có bậc là $8$. Tuy nhiên, nếu $f$ là minimal polynomial cho $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$, thì $\sigma(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ cũng là một nghiệm của $f$ với mọi $\sigma\in Aut(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})$. Vì ta đã tìm được $\sigma\in Aut(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})$ ở bước 1, ta có thể dễ dàng tìm hết tất cả các nghiệm của $f$. Đại loại chúng là $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{5}$. Đặt tên cho chúng là $\alpha_i$, $i=1,..,8$. Tính toán "bằng tay" biểu thức sau, ta được

$$(t-\alpha_1)(t-\alpha_2)(t-\alpha_3)(t-\alpha_4)(t-\alpha_5)(t-\alpha_6)(t-\alpha_7)(t-\alpha_8)=t^8-40t^6+352t^4-960t^2+576.$$

Ở đây, "bằng tay" là isomorphic với "mathematica"

Bài này bạn đã giải ra chưa? Để chứng minh một không gian là đầy đủ, thì ta cần chứng minh rằng mọi dãy cauchy là hội tụ về một phần tử nằm trong không gian đó.

Giả sử ta có $\{X^n\}$ là một dãy Cauchy trong $c_0$. Ở đây mình dùng superscript để chỉ phần tử của dãy, còn subscript để chỉ ra thành phần của một phần tử đó. Ví dụ như $X^3$ là một phần tử trong $c_0$, tức là nó là một dãy, nên ta có thể ghi $X^3=\{X_1^3, X_2^3, X_3^3,...,X_n^3,...\}$. 

Dãy $\{X^n\}$ hội tụ có nghĩa là $\rho(X^n,X^m)\to 0$ khi $m, n\to \infty$. Giờ ta cần chứng minh rằng dãy $X^n\to X$, với $X$ là một phần tử nào đó trong $c_0$. Để dễ hình dung, ta viết như sau:

$X^1=\{X_1^1,X_2^1,...,X_n^1,...\}$

$X^2=\{X_1^2,X_2^2,...,X_n^2,...\}$

$X^3=\{X_1^3,X_2^3,...,X_n^3,...\}$

....

$X=\{X_1,X_2,...,X_n,...\}$.

Ý tưởng là ta định nghĩa một $X=\{X_n\}$, với $X_j=\lim_{k\to\infty}X_j^k$. 

Bạn có thể kiểm tra rằng, dãy $X$ chính là dãy cần tìm. Tức là, hãy chứng minh rằng $X=\lim_{n\to\infty}X^n$, và $X\in c_0$.

Ta có một định lý (Dirichlet) nói rằng: với bất kỳ hai số nguyên sao cho $(a,n)=1$, có vô số số nguyên tố $p$ sao cho $p$ đồng dư với $a$ mod $n$. 

Câu hỏi: Dùng định lý trên để chứng minh rằng mọi nhóm abelian hữu hạn là một Galois group over $Q$.

Mình vẫn chưa giải quyết được bài này, mong các bạn giúp đỡ.

Cung co một vân đê liên quan đên đa thức bất khả quy minh man phép đăng vao đây: Các nghiệm của đa thức bất khả quy co cung bội. Minh tư tim ra điêu nay nên thây nghi ngơ vi` no không co´ trong ly thuyết. Chứng minh của minh đơn gian chi la do đăng câu giữa 2 mơ rông bất ki cua 2 phân tư trên cung một trường nêu chúng cung la nghiệm của một đa thức bất khả quy. Dung đăng câu nay tac đông bao đa thức suy ra được điêu trên. Ai đo co thê xac nhân cho minh điêu trên?

Bạn có thể nói rõ hơn một chút về thế nào là "co cung bội" ko? Điều duy nhất mình biết là: Nếu $K/F$ là một field extension, p(x) là irreducible, và $\sigma\in Aut(K/F)$, thì nếu $a$ là một nghiệm của $p(x)$ thì $\sigma(a)$ cũng là một nghiệm của $p(x)$.

À có một cuốn mình cũng rất thích là http://www.amazon.co...ywords=topology

Nó viết khá hay, và đầy đủ cho bậc undergrad. Có thể coi thêm cuốn Topology của Munkres hoặc cuốn này 

http://www.amazon.co...ywords=topology

Cách tốt hơn là bạn đi đến lớp học ấy. Mình thấy đọc chay ở nhà thì khó lắm trừ khi bạn có nghị lực cao

Nếu LoR mà thầy chỉ ghi đại loại như trò này học giỏi, chăm chỉ, thì cơ hội vào làm PhD hơi bị khó đó. NẾu học được ở KHTN thì ráng cố gắng theo thầy nào đó mà xin LoR thôi. UCI hoặc USC cũng khó vào đối với người nước ngoài chứ ko có dễ. Đại loại điều quan trọng nhất là những gì bạn đã học: đại số đại cương, giải tích, topology...., có bao nhiêu lớp ở bậc grad mà bạn đã học, và LoR. 

Ngoài ra, làm PhD đâu phải chỉ có ở bên Mỹ, ở mấy nước khác cũng có mà, và dễ hơn qua bên Mỹ nữa. 

Lý thuyết tập hợp cũng ko có quan trọng lắm đâu. Biết cơ bản thôi. Ngoài ra nên biết vài điều như axiom of choice và các tiên đề tương đương (như well ordering principle...), ordinal numbers.... Mấy cái này thì bạn coi trong sách Set Theory for Guided Independent Study của Derek Goldrei. Cuốn này dễ đọc và được nó từ đầu đến cuối là ngon rồi.

Giải tích thì cứ Rudin và Apostol mà đánh thôi. Quan trọng ko phải là bạn chỉ đọc chay, mà là thực sự làm bài tập trong đó. Chỉ có làm bài tập mới có thể gọi là đã học và biết về nó. 

Đại số tuyến tính thì có cuốn của Kenneth Hoffmann & Ray Kunze. Học hết cái đó là ngon. Thực ra ko cần phải học hết đâu. Ở trường mình học hai lớp đại số tuyến tính và chỉ học đến Jordan Canonical Form. Có một cuốn khác cũng khá hay là Linear Algebra Done Right. Cuốn này mình đọc thích hơn Kenneth Hoffmann & Ray Kunze tuy là nó ko đủ đô. Nhưng bạn học thật kỹ thì nó cũng hay lắm.

Topology thì nên đọc cuốn Introduction to Topological Manifolds của Lee.

Về đại số đại cương thì bạn cần phải học về group, ring, field. Group thì ít nhất phải biết đến sylow theorem, mấy cái isomorphism theorem...

Những cái trên chỉ là kiến thứ cơ bản nhất mà bắt buộc một sinh viên học toán nào cũng phải nắm vững. Nhưng thế nào là nắm vững??? Nếu bạn đủ khả năng làm được những bài trong cái basic qualifying exam của trường mình là tốt rồi . http://www.math.ucla.../handbook/quals  (coi phần basic exam)

Sau khi xong những cái này thì tiếp tục học những thứ khác như measure theory, differential geometry, ... Càng học nhiều thì càng có lợi. 

Ngoài ra nếu hứng thú, bạn có thể thử những lớp ở trường mình. Đây là website của những lớp mình đã, và đang học:

http://www.math.ucla...old110ah.1.04f/  (vào phần homework làm cho vui)

http://www.math.ucla...se/110bh.1.13w/

à, nói về GRE, cái đích bạn nên nhắm vào là trên 90% chứ ko phải 70% . Trên 90% thì tốt nhất, tuy nhiên, mình biết có một người vào được trường mình mà GRE chỉ có 60%

Cám ơn bạn, ít nhất cũng biết là chuyện quay lại học toán ở tuổi 29~30 không phải là lạ.

Mình hơi tòm mò vì bạn nói là bạn học ở trong điều kiện tốt thầy giỏi.

KoBietDatTenSaoChoHot có thể cho biết bạn đã học ở VN hay nước ngoài không? Bạn học lĩnh vực nào? 

 

Chuyện tiền bạc thì mình có dành dụm đủ để mình học 2 năm ở Việt Nam, do mình có chút tự tin về ngoại ngữ nên trong thời gian 2 năm đó thì mình thì thử apply xin học PhD. Mình có thi thử GRE sub tháng 10 vừa rồi mặc dù kết quả thấp do không chuẩn bị nhưng cũng không đến nổi là không lấy được khoảng 70% nếu chịu bỏ thời gian ra luyện. Mình coi trang mathematicsgre.com thấy cũng có chút hy vọng.

Nếu không có học bổng thì mình cứ học ở Việt Nam, vừa đi dạy kèm vừa học cũng được miễn là được học.

 

Vợ sắp cưới của mình vẫn ủng hộ mình theo học nhưng với điều kiện là sau 2 năm nếu không tìm được nguồn học bổng thì phải quay lại đi làm.

 

Về đại số thì mình cũng nghĩ giống với bạn, ở thời điểm hiện tại thì mình thấy đại số dễ trôi hơn rất nhiều so với các môn kia, và các khái niệm cũng như phương pháp chứng minh các định lý cũng "đẹp" hơn. Nhưng đó cũng chỉ là nhưng quan điểm ngây thơ vì có thể mình chưa thấy được cái khó của Đại số và cũng chưa thấy được cái hay của các môn giải tích & hình học. Sau khi học hết các môn đại cương thì có thể mình sẽ thay đổi sở thích (hy vọng là vậy). Ba mẹ nói nếu thích toán thì nên đi theo giải tích với định hướng ứng dụng sẽ ít rủi ro hơn ... không học nổi thì cũng còn có thể lấy làm mồi PR khi xin việc 

Mình hiện tại đang học ở UCLA, một trường công của Mỹ cũng mạnh về toán. Hiện tại thì mình chỉ đang học undergrad thôi, tức là sinh viên đại học thôi. Hết năm nay mình mới làm đơn apply vào PhD. Tuy nhiên, mình cũng lấy nhiều lớp graduate và được học chung với tụi PhD khác trong trường. Mình có quen mấy người, đều làm algebra. Mình thấy làm algebra khổ lắm. Mình biết một chị việt nam đang học PhD năm cuối trường mình. Trước chị đó học algebra, cũng giỏi lắm. Nhưng giờ thì chị ấy chuyển qua làm applied math rồi.

Mình thì thích analysis với differential geometry thôi, ko biết chút gì về algebra . Học kỳ trước mình có lấy một lớp về algebra thì được học mấy cái khái niệm về group. Mình thấy algebra cũng hay hay, nhưng mình vẫn thích analysis nhất. 

Nói về chuyện làm PhD. Mình nói trước cho bạn biết là hơi bị khó xin làm PhD ở Mỹ trong tình trạng như bạn (vì bạn chưa được đào tào chính quy). Tuy nhiên, nó cũng tuỳ thuộc vào bản thân bạn trong thời gian tới. GRE (subject) là một phần nhỏ bé thôi, và theo mình thấy thì đừng nên tin vào những cái statistic online đó, vì mình biết nhiều người GRE thấp mà vẫn vào được trường top. Mình nghĩ cái quan trọng nhất là những lớp mà bạn đã học, và thư giới thiệu của thầy có uy tín.

Thầy mình nói khi người ta nhận một ai đó vào làm PhD, thì người ta cần biết là liệu người được nhận có đủ khả năng hay ko. Mà điều đó thì người ta dựa vào những lớp mà bạn học. Nếu tương lai bạn học được cao học ở KHTN thì đó là điều rất tốt vì nó có những lớp nâng cao về toán cũng hay ho (mình ko biết rõ lắm, nhưng có biết vài đứa đang học), và tìm được thầy có uy tín viết thư giới thiệu. Đại loại là bạn phải biết rành về giải tích (về độ đo, tích phân Lebesgue...) và algebra.

Ngoài ra, mình xin chia buồn luôn với bạn, đó là độ tuổi của bạn cũng là một sự cản trở đối với việc xin học PhD (đó cũng là cản trở lớn của mình, tuy nhiên, thầy mình nói là ông sẽ viết thư giới thiệu để người ta ko đối sử phân biệt). Chọn một người vào làm PhD, người ta sẽ ưu tiên người trẻ hơn (điều này là bất hợp pháp, nhưng nó vẫn xảy ra). Tuy nhiên, nếu bạn có thư giới thiệu tốt, và thành tích tốt thì cũng ko sao.

Hiện tại bạn đã biết những gì, đã tự học những gì rồi?

...

Đầu tiên mình muốn nói về cái khó trước .

Có vài câu mình muốn hỏi: Bạn đã có vợ con chưa? Đi học thì bạn tự túc tiền bạc hay là nhà sẽ phải giúp thêm? 

Nếu đã có vợ con, đang có công ăn việc làm mà bỏ để đi học là một quyết định cần phải xem xét bởi mình nghĩ trách nhiệm đối với vợ con phải đi trước. Việc bạn theo con đường toán học là hay đó, mình cũng rất thích, nhưng bạn có chắc là vợ con bạn sẽ ko khổ vì nó?

Nếu bạn đi học mà nhà bạn phải phụ thêm tiền bạc ở cái tuổi 29 thì mình nghĩ ko nên. Tuổi này phải tự lập rồi

Ngoài ra, mình ko biết là bạn đã có kiến thức thế nào về toán rồi, nhưng mình thấy theo con đường này cần phải tốn rất nhiều thời gian và công sức, tâm huyết. Nghe bạn nói bạn thích đại số như vậy thì chắc phải mất rất lâu mới có thể gọi là "biết một chút" về toán thôi.

Mình cũng có hoàn cảnh giống bạn, nên mình rất là cảm thông và có một chút gì đó muốn động viên, giúp đỡ bạn. Thực sự mà nói, mình quay lại học toán đúng vào cái tuổi 29 như bạn đó!!!! Tuy nhiên, mình may mắn hơn là điều kiện học hành của mình là hoàn hảo, và mình được nhiều may mắn khác như được thầy giỏi nâng đỡ. Tuy nhiên, đôi khi mình cũng hay có cái suy nghĩ thoáng qua rằng "giá như mình học toán sớm hơn..." Mình muốn nói cho bạn biết rằng những gì bạn nghĩ về toán trong thời điểm hiện tại có thể chưa hoàn thiện đâu. Để mà làm được nghiên cứu ấy, bạn cần phải học rất nhiều. Và toán đúng là ko có dễ. Tuy nhiên mình nghĩ có đam mê tất sẽ thành công.

Ngoài mình ra, mình có quen một người Việt nam khác cũng đang học tiến sỹ năm đầu ở trường mình. Anh này hơn mình một tuổi. Điều đó chứng tỏ có rất nhiều người quay lại học toán khi đã "già" .

Tiếc là mình ko có rành về đại số nên ko nói gì về cái đó được. Nhưng mình nghe tụi bạn học đại số nói cũng hấp dẫn lắm. Ở trường mình tụi nó học khác hẳn ở KHTN.  

Không cho tiến tới $+ \infty$ được đâu vì nếu thế tớ cho $x_2 \to +\infty$ thì $ \rightarrow 0$ KKKK :v :v

Năm cuối sư phạm mà hỏi kiểu này chắc đang đùa quá

CM vậy ổn rồi.

Tuần hoàn nghĩa là periodic đúng ko? 

Điều đó có nghĩa là tồn tại một số $k$ sao cho $f(x+k)=f(x)$ với mọi x. $f$ liên tục đều trên $[0,k]$. Trên các khoảng $[n,n+k]$, f là như nhau và là một copy của $f$ trên $[0,k]$, nên $f$ liên tục đều trên mọi khoảng $[n,n+k]$, $n\in \mathbb{N}$. Việc $f$ liên tục đều trên $\mathbb{R}$ có thể chứng minh dễ dàng bằng cách nối các khoảng này lại. Tuy nhiên, mình lười biếng ở chỗ này

Ủa, em thấy $Gf$ của em cũng giống $G$ trong đề bài mà. Anh nói rõ hơn đi.

Hai cái $G$ đó nhìn sơ thì rất giống nhau (kết quả cuối cùng là như nhau, nhưng hai hàm hoàn toàn khác nhau), và anh đã tưởng nhầm rằng cái $G$ ban đầu (là hàm theo biến $x$) có thể thu được từ hàm $G$ của em qua hàm hợp. Tuy nhiên điều này ko đúng.

Hàm $G$ của em đi từ $C([0,1]) \to \mathbb{R}$.

Mới nghĩ thoáng qua anh nhầm thế này: từ hàm $G$ của em ta có được $G(f)= \int\cdots$. Anh nghĩ, nếu mình viết $G(f(x))=\int\cdots$ thì mình được cái như là hàm hợp. Nếu $G$ là liên tục theo biến $f$ và $f$ liên tục theo biến $x$, thì mình được $G$ liên tục theo biến $x$. Tuy nhiên, điều này SAI. 

Lý do: Để dùng được tính chất của hàm hợp, ứng với mỗi $x$, thì mình cần $f(x)$ là một phần tử của $C([0,1])$. Tuy nhiên, $f(x)$ ko phải là một hàm số, mà là giá trị của một hàm số. Em suy nghĩ kỹ sẽ rõ thôi

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).

Có lẻ em suy nghĩ chưa kỹ rồi. Hai khoảng $(0,1)$, $[0,1]$ nên được nhìn nhận là hai ko gian riêng lẻ, chứ ko phải là hai tập con của $\mathbb{R}$. 

Lời giải như sau: giả sử $f: (0,1)\to [0,1]$ là liên tục. Gọi $g=f^{-1}$, hàm ngược của f. Thì $g$ liên tục (hãy chứng minh nó nếu các bạn có hứng). Ta có 

$g:[0,1]\to (0,1)$ là liên tục. Nhưng điều này vô lý vì $[0,1]$ là ko gian compact, trong khi $(0,1)$ ko phải compact (vô lý vì ta có tính chất rằng ảnh của một ko gian compact qua một hàm liên tục là compact).

Ngoài ra liên quan đến bài này còn có một bài cũng khá thú vị: Cho họ các số dương $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$ (lưu ý, $A$ có thể ko đếm được). Chứng minh rằng nếu $\sum_{\alpha\in A}x_\alpha <\infty$ thì họ $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$ có số các phần tử lớn hơn $0$ tối đa là đếm được. ( Tức là tập $\{\alpha\in A: x_\alpha>0\}$ có cardinality tối đa là đếm được).