Vu Van Quy

Giải bất phương trình: $\frac{6x^2-2(3x+1)\sqrt{x^2-1}+3x-6}{x+1-\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-\sqrt{2(x^2+2)}}\leq 0$

(Trích đề thi thử đại học Trường THPT Quỳnh Lưu -Nghệ An )

Giải hpt :

$\left\{\begin{matrix} 4x\sqrt{8x-4}-12y^2-5=4y^3+13y+\sqrt{18x-9}\\ 4x^2-8x+4\sqrt{2x-1}+2y^3+7y^2+2y=0 \end{matrix}\right.$

ĐK...

PT 1$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x-1})^2+(2\sqrt{2x-1})=(2y+2)^3+(2y+2)$

ĐẾn đây ôk !!!

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3^{x+3y-2}+6.3^{y^2+4x-2}=3^{5y-3x}+2.3^{(y+1)^2}\\ 1+2\sqrt{x+y+1}=3\sqrt[3]{3y-2x} \end{matrix}\right.$

ĐK...

Tất nhiên ta sẽ tìm ra manh mối ở PT 1

PT1$\Leftrightarrow 3^{x+2y-2}(1+2.3^{y^2+3x-3y+1})=3^{5y-3x}(1+2.3^{y^2-3y+3x+1})$

$\Leftrightarrow 3^{x+3y-2}=3^{5y-3x}$

$2x-y=1$

Thế vào PT 2 giải tiếp là xong !!!

Giải phương trình:

$x^{3}+3x^{2}-3\sqrt[3]{3x+5}=1-3x$

PT$(x+1)^3+3(x+1)=(\sqrt[3]{3x+5})+3\sqrt[3]{3x+5}$

Đến đây ok !!

Giải hệ phương trình:$$\left\{ \begin{array}{l}4y^3-\sqrt{2x^3-x^2}=3\sqrt{2x-1}-7y\\4y^2+\left(3-x\right)^2+2\sqrt{3-4y}=7 \end{array} \right.$$ 

ĐK.:$x\geq \frac{1}{2}$

PT 1 $4y^3+7y=x\sqrt{2x-1}+3\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 8y^3+14y=2x\sqrt{2x-1}+6\sqrt{2x-1}=(\sqrt{2x-1})^3+7.\sqrt{2x-1}$

ĐẾn đây xét hàm số và suy ra được rằng $2y=\sqrt{2x-1}$ thế vào PT dưới là gần xong !!!

Giải phương trình: $\sqrt[3]{3x^{3}+12x^{2}+14x+3}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\left ( x^{3}+3 \right )$

ĐK...

PT$\Leftrightarrow \sqrt[3]{6x^3+24x^2+28x+6}=x^3+3$

Đặt Căn bậc 3 đó bằng y

Ta có $\left\{\begin{matrix} y^3=6x^3+24x^2+28x+6 & \\ 2y=2x^3+6 & \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế thì ta có $(2x+2)^3+2(2x+2)=y^3+2y$

ĐẾn đây thì ngon lành quá !!!!

Giải bất phương trình:

$\sqrt[3]{2x+1}\leq x^{2}(x+3)+2x+1$

BPT$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+1}+(2x+1)\leq (x+1)^3+(x+1)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x+1 & \\b=\sqrt[3]{2x+1} & \end{matrix}\right.$

Thế vào ta có $a^3+a\geq b^3+b\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$

ĐẾn đây OK !!!!

Gpt: $x^{2}+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1$

ĐK x khác không !

$PT\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+2\sqrt{x+\frac{1}{x}}-8=0$

ĐẾn đây ngon lành rồi !!!

$\left\{\begin{matrix} y(y^{2}+2x^{3}y+1)=10x^{3}\\y^{2}(1+4x^{6}y^{2})=20x^{6} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-8x^{3}y^{3}=10\\ 4x^{3}y+\frac{3}{y}+1=y+3x^{3} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y(4x^{3}-1)=3\\ y^{3}(3x+1)=4 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{10}+x^{2}y^{2}(x+y^{2})=3\\ y^{10}+\frac{y^{6}}{x^{4}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{3}{x^{5}} \end{matrix}\right.$

Hệ 3

ĐK...

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x^3-1=\frac{3}{y} & \\ 3x+1=\frac{4}{y^3} & \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng !!!

1, Giải các hệ:

a, $\left\{\begin{matrix} x^{2} - 3xy + y^{2} + 1 = 0& \\ 2x^{2}+ xy - 3y^{2}+ 8 =0 \end{matrix}\right.$

b, $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+ xy - y^{2} - 5x + y + 2 = 0& \\ x^{2}+ y^{2} + x + y - 4 = 0 \end{matrix}\right.$

c, $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}= 2 & \\ \frac{2}{xy}- \frac{1}{z^{2}}= 2 \end{matrix}\right.$

Bài 1 

nhân 8 vào PT 1 rồi trừ vế theo vế ta được PT đẳng cấp !

 

a

$\dpi{120} $$\begin{cases} x+y+x^2+y^2=8 & \color{red}{(1)} \\ xy(x+1(y+1)=12 & \color{red}{(2)} \\ \end{cases} $$$

b

 

$$\begin{cases}  

\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x-y} = 3 & \color{red}{(1)} \\ 

\sqrt{2x-y}+5x+y=7  &  \color{red}{(2)} \\

\end{cases} $$

 

Bài 1 chỉ là hệ đối xứng loại 1 thôi

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{y}{\sqrt{1+x^2}+x}+y^2=0 & \\   \frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{x^2+1}+y^2=3&  \end{matrix}\right.$

ĐK...

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\frac{x}{y}+y)+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}=0 & \\ (\frac{x}{y}+y)^2+2\sqrt{x^2+1}-2x=0 & \end{matrix}\right.$

Thế $\frac{x}{y}+y$ từ trên xuống dưới ta có

$\frac{1}{(\sqrt{1+x^2}+x)^2}+2\sqrt{1+x^2}-2x=0$

Vì $\sqrt{1+x^2}\neq x$ nên cái PT trên $(\sqrt{1+x^2}-x)^2+2(\sqrt{1+x^2}-x)=0$

Den day OK !

$\sqrt{x+1\sqrt{x^2+2x}}=\frac{27{\sqrt{2}}}{8}x^2\sqrt{x}$

Đề có sai không vậy ? sao lại $1\sqrt{x^2+2x}$

Đề không sai

ĐK...

$PT\Leftrightarrow PT\Leftrightarrow \sqrt{x+x+2+2\sqrt{x(x+2)}}=\frac{54x^2\sqrt{x}}{8}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{x+2})^2}=\frac{54x^2\sqrt{x}}{8}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+2}=\frac{54x^2\sqrt{x}}{8}$

ĐẾn đây nhân lượng liên hợp để có nghiệm là 2/3

PT<=>$log_{5}((x+1)^2+1)=(x+1)^2+1=log_{5}(5x)+5x$

Xét hàm số $f(t)=log_{5}t+t$ trên khoảng $(0;+\infty )$

Ta có $f'(t)=1+\frac{1}{tln5}>0$ với mọi t thuộc $(0;+\infty )$.

vậy pt <=> $(x+1)^2+1=5x$

Đến đây thì OK rồi

PP dùng tính chất của hàm đặc trưng e đang soạn lên báo đấy thày ạ !! Và đây sẽ là 1 ví dụ !!!!

Thay chờ e hết tuần này !!!

GPT:

$4.x^3+4.x^2-5x+9=4.\sqrt[4]{16x+8}$

ĐK...

Áp dụng bddt cauchy : VP=$4\sqrt[4]{2.2.2.(2x+1)}\leq 2x+7$

Và ta sẽ cm $VT\geq 2x+7\Leftrightarrow 4x^3+4x^2-5x+9\geq 2x+7$

Điề này đúng hiển nhiên khi ta chuyển vế sang 1 bên và phân tích thành 2 tích 

Dấu = khi x=1/2