Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


ma29

Đăng ký: 24-12-2013
Offline Đăng nhập: 22-10-2020 - 15:33
-----

#740541 $$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \math...

Gửi bởi ma29 trong 18-10-2020 - 18:16

 Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho 

$$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \mathbb{R}(8)$$

Thấy đâu đó thì cho vào đừng đánh lên dài lắm tội nghiệp các bạn mình lấy trong sách

 




#493271 Sử dụng khai triển $Abel$ để chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi ma29 trong 16-04-2014 - 12:05

hehe :luoi:  ngày trước có đọc trong sách được vài bài thui bây giờ được thấy nhiều hơn viết chia nhỏ như này dễ đọc dễ hiểu  :icon6:




#474324 $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{...

Gửi bởi ma29 trong 31-12-2013 - 22:43

Cho x, y, z dương thỏa mãn $xyz=1$ . CMR: $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant 1$

Thầy mình bảo bai này có thể CM bằng đa thức mong mọi người giúp nhé''

Giả sử $x\geq y \geq z$ thì khi này ta dùng bđt phụ sau : $$\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}$$

$$\Leftrightarrow  \left ( \frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z} \right )^2\geq (x+z)^2(y+z)^2$$

Bất đằng thức này đúng vì ta luôn có : $4xy\geq 4y^2\geq (y+z)^2$ và $ (x+y)^2\geq (x+z)^2$

Vậy ta chỉ cần  chứng mình : $$\frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$$

Bất đẳng thức này đối xứng hai biến $x$ và $y$ và các biến sắp xếp nên ta sẽ đặt $y=z+a$ và $x=z+b$ với $a,b\geq 0$ để có thể khai thác tối đa giả thuyết bài toán 

$$\frac{z}{4}+\frac{2}{(2z+b)(2z+a)}+\frac{2}{(1+z)(1+z+a)(1+z+b)}\geq 1$$

$$\Leftrightarrow f(z)=a^2b^2z^2-3a^2b^2z-4a^2b^2+3a^2bz^3-8a^3bz^2-15a^2bz-4a^2b+2a^2z^4-4a^2z^3-14a^2z^2-8a^2z+3ab^2z^3-8ab^2z^2-15ab^2z-4ab^2z+9abz^4-21abz^3-53abz^2-19abz+12ab+6az^5-10az^4-46az^3-30az^2+24az+8a+2b^2z^4-4b^2z^3-14b^2z^2-8b^2z+6bz^5-10bz^4-46bz^3-30bz^2+24bz+8b+4z^6-4z^5-36z^4-36z^3+40z^2+40z+8\geq 0, z\geq 0$$