Kaito Kuroba

Giải pt:
$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8$

Dùng phương pháp nhân lương liên hợp ta được:

$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8\Rightarrow
\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\frac{4x+8}{4x-1}$

$$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\frac{3(x-1)}{\sqrt[3]{(3x+5)^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}+\frac{12(x-1)}{4x-1}=0\Rightarrow x=1$$

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1006. CMR:
$\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Tương tự như bài mình đã làm ở đây!

Hê PT

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y} & \\
 (x+1)(y+\sqrt{xy}+x-x^2)=4&
\end{matrix}\right.$$

Từ pt thứ 2 ta có:

$$\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}-y+\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$$

$$\rightarrow
\frac{(x-y)\left ( \sqrt{xy}-2 \right )+xy-y^2}{\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)+y}}+\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=0
\Leftrightarrow  \frac{(x-y)(y+\sqrt{xy}-2)}{\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)+y}}+\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=0\Rightarrow x=y$$

Đến đây là OK rồi!!!1

Tìm min của biểu thức $P=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}$ với$ a,b\neq 0$

C3: 

$$\frac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}\geq \frac{a^2+b^2-\frac{a^2+b^2}{2}}{a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{1}{3}$$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} & & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0& & \end{matrix}\right.$

Ta biến đổi pt đầu trở thành: $$x^3-3x=(y-1)^3-3(y-1)$$

từ đây ta dễ dàng suy ra: $$x=y-1\Rightarrow y=x+1$$

đến đây là OK rồi!!!!1

Cho a,b,c dương và $a+b+c=\frac{3}{2}$.Cmr $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{3}{8}$

Áp dụng BDDT: $$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^3=\frac{3}{8}$$

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1007$.Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{2014a+\frac{(b-c)^2}{2}}$$\leq 2014\sqrt{2}$

ta có: $$\sum \sqrt{2014a+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sum \sqrt{2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sum \sqrt{\frac{(2a+b+c)^2-4bc}{2}}\leq \sum \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}=2014\sqrt{2}$$

Cho $a,b>0$. Chứng minh rằng : $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{2a+2b}$

C2:

ta có:$$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \frac{(a+b)^2}{\sqrt{ab}\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )}\geq \frac{(a+b)^2}{\frac{a+b}{2}.\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2a+2b}$$

Cho $x,y,z,t$ thỏa mãn $(x+y)(z+t)+xy+88=0$ . Tìm min $x^{2}+9y^{2}+6z^{2}+24t^{2}$

Ta có:$(x+y)(z+t)+xy+88=0\Leftrightarrow 4(x+y)(z+t)+4xy+352=0$

nên ta có:$x^2+9y^2+6z^2+24t^2+4xz+4xt+4yz+4yt+352=\left ( x+2z+2x+2t \right )^2+(2y-z)^2+(z-4t)^2+(y-2t)^2+352\geq 352$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=14 & \\
 y=-2& \\
 z=-4& \\
 t=-1&
\end{matrix}\right.V\left\{\begin{matrix}
x=-14 & \\
 y=2& \\
 z=4& \\
 t=1&
\end{matrix}\right.$
 

Giải bpt: $4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x+3}\leq (x-1)(x^{2}-2)$

ĐK:$x\geq -1$

Ta thấy rằng $x\geq3$ là nghiệm của bpt,dùng pp lượng liên hợp thích hợp ta biến đổi phương trình thành;

$$bpt\Rightarrow (x+1)^2(x-3)+\frac{(x+1)(x-3)}{x+3+2\sqrt{2x+3}}+(x-3)\frac{2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+2}\geq 0\Rightarrow x\geq 3$$

Ngoài ra ta thấy rằng: ĐK $x\geq -1$ mà $x=-1$ thay vào thoả mãn nên đây cũng là một nghiệm của bpt!!!

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=1+x+y+xy& \\ 7xy+y-x=7& \end{matrix}\right.$

Hình như đề phải là:$$\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=1-x+y+xy& \\ 7xy+y-x=7& \end{matrix}\right.$$

Từ hệ ta được: $$x^3+y^3+6xy-8=0\Leftrightarrow (x+y-2)(x^2-xy+y^2+2x+2y+4)=0$$

ta có:$x^2-xy+y^2+2x+2y+4=0\Rightarrow x=y=-2(loai)$ (vì không thoả pt thứ 2)

Với $x=y-2$ ta dễ dàng tìm được nghiệm $$\left ( x;y \right )=(1;1);\left ( \frac{5}{7};\frac{9}{7} \right )$$

Dấu = xảy ra khi nào vậy bạn

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y=1 & \\
\frac{3\sqrt{2}}{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{10}}{2xy}&
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x;y)=\left ( \frac{5}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{\sqrt{5}-1}{4} \right );\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4};\frac{5-\sqrt{5}}{4} \right )$

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{x^{2}+8y}=5 & \\ x(x-3)+y(y-8)=13 & \end{matrix}\right.$

Hình như đề bị sai, phải là thế này mới đúng:$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{y^2-3x}+\sqrt{x^2+8y}=5 & \\
 x(x-3)+y(y+8)=13&
\end{matrix}\right.$

$PT(2)\Leftrightarrow (y^2-3x)+(x^2+8y)=13$

hệ trở thành:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^2-3x}+\sqrt{x^2+8y}=5 & \\ (y^2-3x)+(x^2+8y)=13& \end{matrix}\right.$

Đến đây là OK rồi!!!

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)$

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hoá: $a+b+c=3$

BĐT tương đương:$$3\sum a^4+3abc\sum ab\geq 2\sum a^2.\sum ab$$

Ta đặt:$\left\{\begin{matrix}
\sum a=p & \\
 \sum ab=q& \\
 abc=r&
\end{matrix}\right.$ Mặt khác ta có: $q=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3~~(1)$

$\Rightarrow \sum a^4=(\sum a)^4-4(\sum a)^2(\sum ab)+4(\sum ab)abc=81-36q+2q^2+12r$

$\sum a^2=9-2q$

Mặt khác theo schur ta luôn có:$r\geq \frac{(4q-p^2).p}{9}=\frac{4p-9}{3}$

Từ đây ta cần chứng minh rằng:$3(81-36q+2q^2+12r)+3rq\geq 2(9-2q)q
\Leftrightarrow 3\left [81-36q+2q^2+4(4q-9)  \right ]+q(4q-9)\geq 2(9-2q)q
\Leftrightarrow (q-3)(14q-45)\geq 0~~~(2)$

Từ $(1),(2)$ dễ dàng suy ra ĐPCM.

Chứng minh bất đẳng thức với a,b,c > 0 
$\sum(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$