Kaito Kuroba

phương trình nay có một nghiệm x=4. đây la một bài toán thách đố rất hay.

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

đặt:

$\sqrt{x-2008}$=a

$\sqrt{y-2009}$=b

$\sqrt{z-2010}$=c

(a,b,c>0)

phương trình trở thành:

$\frac{a-1}{a^{2}}$+$\frac{b-1}{b^{2}}$+$\frac{c-1}{c^{2}}$=$\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{c}+\frac{1}{c^{2}}\right )$=0

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{b} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{c} \right )^{2}$=0

từ đây suy ra: a=b=c=2 <=> x=2012;y=2013 và z=2014

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}$=$\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$=$\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

theo cauchy-schwaz:

\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq  \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\leq \frac{1+a+ca}{9}

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1