MR MATH

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{abc+1}$

Giải phương trình nghiệm nguyên:

a. $2^y+1=5^x$

b. $3^x+1=(y+1)^2$

Cho a,b,c >0. CMR:

$\sum \frac{a^4}{a^2b+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$

Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $ x_{1}, x_{2}$ thoả mãn: $x_{1}^2+x_{2}^2=7$:

$ x^2-3x+2m-1=0$

$ A+2B+4$ =$4.11..1$(2n số 1)$$+16.11..1$(n số 1)+4=4.\frac{10^{2n}-1}{9}$ $+16.\frac{10^{n}-1}{9}+4$+4 = $\frac{(2.10^{n})^{2}+8.(2.10^{n})+16}{9}$ = $\frac{(2.10^{n}+4)^{2}}{9}$

Vì $2.10^{n}+4$ chia hết cho 3 nên $A+2B+4$ là số tự nhiên nên là số chính phuơng

$ A+2B+4$ =$4.11..1(2n số 1)+16.11..1(n số 1)+4=4.\frac{10^{2n}-1}{9}+16.\frac{10^{n}-1}{9}+4+4 = \frac{(2.10^{n})^{2}+8.(2.10^{n})+16}{9} = \frac{(2.10^{n}+4)^{2}}{9}$

Vì $2.10^{n}+4$ chia hết cho 3 nên $A+2B+4$ là số tự nhiên nên là số chính phuơng

P/s:  Mình sửa lại bài của lovemathforever99 cho dễ đọc nhé!

   Chú ý gõ latex thì chỉ cần kẹp $ vào đầu và cuối thôi nhé!

   Thank you!

Trong một đường tròn  lấy 2031 điểm tuỳ ý. CMR: có thể chia hình tròn này thành 3 phần bởi 2 dây cung sao cho phần thứ nhất có 20 điểm, phần thứ 2 có 11 điểm,phần thứ 3 có 2000 điểm.

Dễ thấy y lẻ

$y=2t+1(t\in \mathbb{N})\Rightarrow x=t^{2}+t-4$

Bài này không tìm được giá trị cụ thể của x, y à?

GIẢI CÁC PT SAU:

1. $(5x^2-10x+1)^2=(x-2)(x^2+6x-11)^2$

2.$\sqrt{1-x}+3\sqrt{x+1}=\sqrt{1-x^2}+x+3$

Cho a,b,c >0 và $a+b+c=1$. CMR:

$\sum \frac{a^2}{b^2}\geq \sum (a-b)^2+\sum \frac{a}{b}$

Cho a,b,c>0  và $\sum \frac{a^2}{b}=1$.CMR:$1\geq \sum a+\sum \frac{a}{b}(c-a)^2$

Tìm $a\in \mathbb{Z}^+$ thoả mãn:

$\sqrt{(x^2+x+1)^2+(2^{-x-1}+2^{x-3}+1)^2}=\sqrt{x^4+2(x^2+1)}+\sqrt{(2^{x-3}+2^{-x-1})^2+x^2}$

 Tìm GTNN của :

A=$\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}$

CMR: trong 12 số nguyên tố khác nhau luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 30.

CMR: Từ 8 số nguyên dương tuỳ ý từ 1 đến 20 ta luôn chọn được 3 số a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.