bunny kizb

sin 4x +2 = cos 3x + 4 sin x + cos x

$\Leftrightarrow$ 2 sin 2x .cos 2x +2 - 4$cos^{3} x$ -4sinx+2cosx =0
$\Leftrightarrow$ sin 2x.cos 2x + 1 - cos x . ($2cos^{2} x - 1$) -2sinx =0

$\Leftrightarrow$ 2sinx. cosx. cos2x - cos x . cos2x - ( 2sinx -1)=0

$\Leftrightarrow$ cosx. cos2x (2sinx -1) - ( 2sinx -1)=0

$\Leftrightarrow$ (cosx. cos2x -1)( 2sinx - 1) =0

$\Leftrightarrow$ cosx. cos2x =1 hoặc sinx= $\frac{1}{2}$

 

+ với cosx. cos2x =1
do $\left | cos x \right |\leqslant 1$ và $\left | cos 2x \right |\leqslant 1$

 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} cosx=1\\ cos 2x = 1 \end{matrix}\right.$ 

 

 

hoặc$\left\{\begin{matrix} cosx=-1\\ cos 2x = -1 \end{matrix}\right.$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow$ x= k$\pi$ (Bạn cần giải thích rõ vì sao bạn lại kết luận vô nghiệm.)

 

+ Với sin x = $\frac{1}{2}$

  thì x= $\frac{\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

hoặc x= $\frac{5\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

Vậy có 3 họ nghiệm
x = $\frac{\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

x= $\frac{5\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

x= k$\pi$

Bài làm của bạn tắt, chưa rõ ràng. Bạn nên xem qua cách sử dụng code $Latex$ nhé.

$\boxed{\text{Điểm bài thi}:8.0}$
S=16+3*8 = 40

Gọi giao của 2 đường chéo là I. Do I thuộc đt d: x-y-1=0 , gọi  toạ độ điểm I (a+1,a) 
Do ABCD là hình chữ nhật nên IA=IB 

$\Rightarrow (a+1-2)^{2}+a^{2}=(a+1-4)^{2}+(a-5)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}-2a+1+a^{2}=a^2-6a+9+a^{2}-10a+25$

$\Leftrightarrow a= \frac{33}{14}$

$\Leftrightarrow I (\frac{47}{14};\frac{33}{14})$

ABCD là hình chữ nhật nên I cũng là trung điểm 2 đường chéo
Gọi toạ độ C,D lần luợt là C(x. y), D(x',y')

thì : $\left\{\begin{matrix} x+2=2.\frac{47}{14}\\y+0=2.\frac{33}{14} \end{matrix}\right.$

và   $\left\{\begin{matrix} x'+4=2.\frac{47}{14}\\y'+5=2.\frac{33}{14} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{33}{7}\\y=\frac{33}{7} \end{matrix}\right.$  và $\left\{\begin{matrix} x'=\frac{19}{7}\\y'=\frac{-2}{7} \end{matrix}\right.$

Vậy $C(\frac{33}{7};\frac{33}{7})$ và D$(\frac{19}{7};\frac{-2}{7})$

 

 

$\boxed{Điểm:10}$

S = 11+3*10 = 41

Mở rộng:

+) với phương trình đối xứng bậc chẵn P(x)= a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2... +a₂x²+a₁x +a₀ =0

(ĐK: a_n khác 0; a_n =a_{0 ;} a_n-1= a₁ ....       và n= 2k)

Ta đặt y= x+ $\frac{1}{x}$ bằng cách chia 2 vế phương trình cho $x^{k}$

, giải phương trình quy về phương trình bậc k 1 ẩn y

Đối với những dạng phương trình phức tạp hơn ( vd: $2(4x^{6}-\sqrt[3]{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}+4)= x^{2}(x-22x^{2}-22)$ )

nếu thấy trong phương trình có các hạng tử có dạng pt đối xứng bậc chẵn, ta nghĩ ngay đến vệc chia để đưa về ( x+$\frac{1}{x}$)
Ví dụ như bài toán trên , ta thấy có các hạng tử có dạng đối xứng như sau:

$4x^{4}+4$

$6x^{10}+x^{9}+6x^{8}$

$-22x^{2}+x-22$

ta chia 2 vế pt cho $x^{3} để đưa về x+\frac{1}{x}$

+) Với phương trình dạng $y^{3}-3y-1$ ta có các cách giải tổng quát hoá như sau:

   Cách 1: $x ^{3}+ px + q = 0$ (Công thức Cardan - Tartaglia)  
- Đặt x = u-v sao cho uv = $\frac{p}{3}$ (1)
- Từ pt, ta có : $(u - v)^{3}+ 3uv(u - v) = u^{3} - v^{3} = q$ (2)

- Từ (1) và (2) ta tìm được u,v. ta được một nghiệm x=u+v
 Cách 2: giải bằng phương pháp lượng giác hoá

- đặt y=2acost với a>0 , t thuộc $\left [ 0;\pi \right ]$

- pt trở thành: 8$a^{3}$cos3t + 2apcost + q = 0
         <=> 2$a^{3}$(4cos3t +$\frac{p}{a^{2}}$cost) + q = 0
- Tìm a thỏa mãn $\frac{p}{a^{2}}$= -3  

   2$a^{3}$cos3t = -q

 $\Rightarrow 3t= arccos\left ( \frac{-q}{2a^{3}} \right )$

 $\Rightarrow y=...$

 

 

 

CD13: Bài này thực ra không phải là mở rộng của bài toán, chẳng qua là trình bày cách giải phương trình bậc ba khuyết mà thôi!

Cho $1$ điểm phần "mở rộng" này!

Bài trước em gõ latex chưa quen nên bị lỗi cho em giải lại ạ 
Nick: bunny kizb 

Giải Phương trình:    $2(4x^{6}-\sqrt[3]{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}+4)= x^{2}(x-22x^{2}-22)$        (1)

+ Nếu x=0 thì phương trình (1) trở thành: 8=0 (loại)

+ Nếu x khác 0: chia 2 vế của pt (1) cho $x^{3}$ , ta được:

$2(4x^{3}-\sqrt[3]{\frac{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}{x^{9}}}+\frac{4}{x^{3}})= \frac{(x-22x^{2}-22)}{x}$

$\Leftrightarrow 2\left [ 4(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1} \right ]= 1-22(x+\frac{1}{x})$

$\Leftrightarrow 2\left [ 4(x+\frac{1}{x})^{3}-4\times 3\times x\times \frac{1}{x}\times (x+ \frac{1}{x})- \sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1} \right ]= 1-22(x+\frac{1}{x})$

$\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^{3}-24(x+\frac{1}{x}) - 2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1-22(x+\frac{1}{x}) (2)$

Đặt 2( x+ $\frac{1}{x}$) = y $( \left |y \right |\geqslant 4)$

pt (2) trở thành:$y^{3}-24y-2\sqrt[3]{3y+1}=1-22y$

$\Leftrightarrow$$y^{3}-y- 2\sqrt[3]{3y+1}-1=0$

Đặt $\sqrt[3]{3y+1}$=z  ($z \leqslant\sqrt[3]{-11} hoăc z \geqslant \sqrt[3]{13}$)

$\Rightarrow z^{3}= 3y+1$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} y^{3}-y-1=2z\\z^{3}-y-1=2y \end{matrix}\right.$

trừ vế theo vế 2 phương trình của hệ ta được:

$y^{3}-z^{3}=2(z-y)$

$\Leftrightarrow (y-z)(y^{2}+z^{2}+zy+2)=0$

$\Leftrightarrow$ y=z hoặc $y^{2}+z^{2}+zy = -2$

 -TH1: y=z thì  $\sqrt[3]{3y+1} =y$    

  $\Leftrightarrow y^{3}-3y-1=0$

  phương trình này có  $\Delta = 27.1-4.3^{3}< 0$ nên có 3 nghệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2)

 mà  $( \left |y \right |\geqslant 4)$ nên phương trình trên không có nghiệm thoả mãn điều kiện 

-TH2: $y^{2}+z^{2}+zy =-2$

$\Leftrightarrow (y+\frac{z}{2})^{2}+\frac{3z^{2}}{4} = -2$ ( vô nghiệm do có VT $\geqslant$ 0, vế phải <0)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

 

 

$\boxed{Điểm: 9}$

S = 4,7+9*3 + 1 = 32,7