Đến nội dung

emlaem21

emlaem21

Đăng ký: 01-01-2014
Offline Đăng nhập: 03-01-2014 - 21:08
-----

Trong chủ đề: Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

03-01-2014 - 20:41


Bài 5: (THPT): Cho $a,b,c >0$.CMR: $\dfrac{2a^{3}}{a^{6}+bc}+\dfrac{2b^{3}}{b^{6}+ac}+\dfrac{2c^{3}}{c^{6}+ab}\leq \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab}$

$\fn_cm Ta có :\frac{2a^{3}}{a^{6}+bc}+\frac{2b^{3}}{b^{6}+ac}+\frac{2c^{3}}{c^{6}+ab} \leq \sum \frac{2a^{3}}{2a^{3}\sqrt{bc}}=\sum \frac{1}{\sqrt{bc}}=\frac{a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}}{abc}

\Rightarrow ta cần chứng minh:

\frac{a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}}{abc}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc} 

\Leftrightarrow a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

Thật vậy: a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant \frac{a(b+c)}{2}+\frac{b(c+a)}{2}+\frac{c(a+b)}{2} =ab+bc+ca\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

\Rightarrow a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

\Rightarrow Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c$


Trong chủ đề: $\boxed{Topic}$Ôn thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2013-2014.

03-01-2014 - 18:57

Ngày 5/9/2012
Đề 2 . TỈNH ĐẮC LẮC(2010-2011)
Kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh lớp 9

Bài 1 cho biểu thức P=$\frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{2x^{2}-x^{3}}+x}$

a) rút gọn P
b) Tìm tất cả các số thực x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2 cho a, b,c là ba số dương
1. CMR $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc$
2. Tính giá trị biểu thức P= ab+bc nếu biết$ \left\{\begin{matrix}
a^{2}+b^{2}= 2010^{2} & \\
b^{2}+c^{2}=2011^{2} & \\
b^{2}=ac &
\end{matrix}\right.$
Bài 3. giải hệ phương trình$ \left\{\begin{matrix}
xy-x+y=7& \\
x^{2}+y^{2}+2x-2y=11 &
\end{matrix}\right.$
2, CMR với mọi n nguyên dương thì số $ x_{n}= 12\sqrt{(n-1)n(n+1)(n+2)+1}+23$ có thể viết thành tổng các bình phương của 3 số nguyên dương lẻ liên tiếp.
Bài 4 cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có $BC=R\sqrt{3} $ và AB<AC. Gọi H trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A.
1) tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân
2) CMR AD.BC=AB.CD+ AC.BD
Bài 5 : CMR nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì $\left | AB-DE \right |=\left | BC-EF\right |=\left | CD-FA \right |$

hết đề 2