Bài 5: (THPT): Cho $a,b,c >0$.CMR: $\dfrac{2a^{3}}{a^{6}+bc}+\dfrac{2b^{3}}{b^{6}+ac}+\dfrac{2c^{3}}{c^{6}+ab}\leq \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab}$
$\fn_cm Ta có :\frac{2a^{3}}{a^{6}+bc}+\frac{2b^{3}}{b^{6}+ac}+\frac{2c^{3}}{c^{6}+ab} \leq \sum \frac{2a^{3}}{2a^{3}\sqrt{bc}}=\sum \frac{1}{\sqrt{bc}}=\frac{a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}}{abc}
\Rightarrow ta cần chứng minh:
\frac{a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}}{abc}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}
\Leftrightarrow a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}
Thật vậy: a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant \frac{a(b+c)}{2}+\frac{b(c+a)}{2}+\frac{c(a+b)}{2} =ab+bc+ca\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}
\Rightarrow a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}
\Rightarrow Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c$