huynhht

Bài 31: cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm cạnh AC. K(1;0), E($\frac{1}{3}$ ;4) lầ lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. P(-1;6), Q(-9;2) lần lượt thuộc đường thẳng AC, BD. Tìm tọa độ điểm A,B,C biết D có hoành độ dương

Trước hết là một topic hay

Hướng dẫn giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Theo giả thiết ta có điều sau: 

Cuộc họp có ít nhất ba người. Mỗi đại biểu đến dự họp đều bắt tay ít nhất một nửa số đại biểu có mặt. Chứng minh rằng luôn luôn có thể xếp tất cả các đại biểu ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người, mà đại biểu này đã bắt tay.

Bài soán: Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài 2 tam giác vuông cân ABD và ACE,vuông tại A, gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM vuông góc DE.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ xuống $BC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường phân giác trong góc $B$ và $C$. Chứng minh rằng $AD \bot EF$.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+2b-c>0$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca + 2$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \[P = \frac{{a + c + 2}}{{a\left( {b + c} \right) + a + b + 1}} - \frac{{a + b + 1}}{{\left( {a + c} \right)\left( {a + 2b - c} \right)}}\]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

\[P = \sum {\frac{1}{{\sqrt {1 + {a^3}} }}} \]

Đây là 1 tài liệu quý, mình sẽ up file bài sớm nhất (tập làm) !

Yagami_Raito - k2pi

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A(0;2)$. Gọi $D$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AB=3AD$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $CD$. Điểm $M(\dfrac{3}{2};- \dfrac{5}{2})$ là trung điểm của $CH$. Xác định toạ độ $B$ và $C$

BẠn có thể chứng mình vì sao $B,C$ là giao của hai đường tròn $(C)$ và $(C_{1})$ không ?

Ta có $\widehat{DCI}=\widehat{DIC}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}$ nên $\Delta DIC$ là tam giác cân tịa $D$. CM tương tự $\Delta DIB$ cân tại $D$

Suy ra $B;C$ là giao điểm của $(C)$ và $(C_1)$!

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;5)$, tâm đường tròn nội tiếp $I(2;2)$, tâm đường tròn ngoại tiếp $K\left(\frac{5}{2};3\right)$. Hãy tìm tọa độ các đỉnh $B,C$.

Bài giải:

- Ta có $KA= \dfrac{5}{2} \implies$Pt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là : $(C): \left ( x-\dfrac{5}{2} \right )^2+\left ( y-3 \right )^2=\dfrac{25}{4}$

- Đường phân giác $AI$ đi qua $A;I$ có pt là : $3x+y-8=0$

- Đường thẳng $AI$ cắt $(C)$ tại điểm thứ 2 $D$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 3x+y-8=0\\ \left ( x-\dfrac{5}{2} \right )^2+\left ( y-3 \right )^2=\dfrac{25}{4} \end{matrix}\right.\iff D\left ( \dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2} \right )$

- Đường tròn tâm $D$ bán kính $DI$ có phương trình : $(C_1)$ $\left (x-\dfrac{5}{2} \right )^2+\left ( y-\dfrac{1}{2} \right )^2=\dfrac{5}{2}$

- Tọa độ của $B;C$ chình là giao điểm của $(C)$ và $(C_1) \implies$ Tọa độ $B;C$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( x-\dfrac{5}{2} \right )^2+\left ( y-\dfrac{1}{2} \right )^2=\dfrac{5}{2}\\ \\ \left ( x-\dfrac{5}{2} \right )^2+\left ( y-3 \right )^2=\dfrac{25}{4} \end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right.\implies \left[\begin{array}{l}C(1;1);B(4;1)\\ C(4;1);B(1;1)\end{array}\right.$

KL:.......................................

P.s: Sửa lại

$P=\frac{5-2xy}{4x^{2}y^{2}+8-4xy+1}+\frac{1}{xy}=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}$ $(t=xy)$

Xét hàm: $f(t)=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t}$$0< t\leqslant 1$

Có: $f(t)-\frac{4}{3}=\frac{(16t^{2}-6t+27)(1-t)}{3(4t^{3}-4t^{2}+9t)}\geqslant 0$

Vậy $MinP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=1$

Dạ thưa anh , em học lớp 10, anh giải thích kĩ hơn được không ạ?

1/Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm 

$\left\{\begin{matrix} x+y=2a+1 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=a & \end{matrix}\right.$

2/ Chứng mình bđt  ( mong bạn đọc hd chi tiết )

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Bai 1

Xet PT 2

Dat $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+y} & \\ b=\sqrt{x-2y} & \end{matrix}\right.$

Thay vao PT ta co$a+b=a^2-b^2$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a+b=0 & \\ a-b=1 & \end{bmatrix}$

Den day Ok

cảm ơn bạn nhiều

1/Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh rằng

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} + \frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b^2)}$

có giá trị nhỏ nhất là 8

2/ Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =1$ . Chứng minh rằng 

$\sqrt {x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy} \geqslant \sqrt{xyz} +\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$